Операторные оценки в задачах усреднения вырождающихся эллиптических уравнений

• Автор: Тихомирова, Светлана Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 95 с.

► Оглавление
1 Задача с вырождающейся симметрической матрицей
§1 Постановка задачи об усреднении Я-решений
§2 Постановка задачи об усреднении IV-решений
§3 Некоторые весовые неравенства и теоремы вложения
§4 О представлении соленоидальных векторов
§5 Усреднение Я-решений
§6 Усреднение И7-решений
§7 Об усредненных матрицах в модельном примере
2 Задача с неограниченной кососимметрической матрицей
§1 Постановка задачи и предварительные сведения
§2 Случай ограниченной кососимметрической матрицы
§3 Усреднение аппроксимационных решений
§4 Вопросы единственности
§5 Переход к эллиптической системе
§6 Усреднение эллиптической системы
Литература

* Введение
Настоящая работа посвящена усреднению неравномерно эллиптических уравнений дивергентного типа
р£(х)ае(х)Уие + ре(х)ие = /, / 6 С“ (ГО,*). (0.1)
Здесь ае(х) = а(|), где а(у) - измеримая периодическая симметрическая матрица, подчиненная условию ограниченности и эллиптичности
А£2 < а£ • £ < А_1£2 УС £ И*, 0 < А < 1, (0.2)
вес ре(х) = р(§), р(у) ~ неотрицательная периодическая измеримая функция, подчиненная условию Стампаккья
ре !’'(□), р~'е £■•’(□), § = 1 + 1, (0.3)
а г в
причем г > 1 при (1 = 2,0 = [—1, )а - ячейка периодичности.
Уравнение (0.1) относится к типу вырождающихся, поскольку функция р£ не отделена от нуля и бесконечности.
В работе изучается также другого типа задача
-сПуЛ£У«е + и£ = /, Л£(т) = а(-) + В(~), (0.4)

где а{у) удовлетворяет прежним условиям (0.2), а кососимметрическая матрица В (у) периодична и
В € ЬР(П), р = (1 для с? > 3 и р = 2 + 8,6 > 0 для (1 = 2. (0.5)

Важной чертой уравнений (0.1) и (0.4) является особого рода неединственность. В случае симметрического уравнения (0.1) это связано с тем, что гладкие функции не плотны в весовом соболевском пространстве, данное явление называется эффектом Лаврентьева. Известно, что если вес принадлежит так называемому /В-классу Макенхаупта (см. [1]), то эффекта Лаврентьева нет, и в большинстве работ по усреднению вырождающихся уравнений периодический вес этому условию удовлетворяет (см. [2] - [4]). Другое условие, которое ещё не использовалось в усреднении, уф 6 И^2 (см. [5]), позволяет корректно определить весовое соболевское пространство и доказать плотность гладких функций. В несимметрическом случае (0.4) также возможна неединственность, обнаруженная недавно В.В. Жиковым в работе [6].
Одной из целей теории усреднения является получение оценок разности между решением исходной задачи и решением соответствующих усредненных задач, а также оценок разности между решением исходной задачи и различного рода приближениями к решению исходной задачи. Для этого обычно используется метод двухмасштабных разложений, широко представленный в монографиях [7]-[12].
Поясним этот метод на примере классической задачи усреднения, когда /9 = 1. Имеем
и£ е Ж1’2^), -сНуа(-)Уп£ + ие = /, / е СП®/*). (0.6)

Согласно методу двухмасштабных разложений решение ие ищется в виде
и£(х) = и°(х) + £щ(х, —) + £2и2(т, -) +

Нулевое приближение и0 является решением усредненной задачи, а ДЛЯ определения функций Щ, и2, ... имеется рекуррентная процедура. Напомним, как определяется усредненная матрица и первое приближение И° + £Щ.

Тогда из неравенства Пуанкаре (1.12) следует, что последовательность Лгп является фундаментальной в (□). Получаем
К -> N в И^(П) и 0 = УЯ,
то есть г € X.
Существование и единственность решения периодической задачи следуют из теоремы Рисса о представлении линейного функционала. Для этого надо на X ввести скалярное произведение равенством
[Уи, Хг] = ^ раХи -7zdx.

В силу тождества (1.18) вектор д(у) принадлежит множеству
У = Х1 = {г е (//*(□, р"1))*, Iг-ус1х = О Vне!}.

В частности, У содержит множество всех гладких периодических со-леноидальных векторов. Изучим ортогональное дополнение (С^)1 (само пространство С{ мыслим лежащим в Ь2(□, р-1), а ортогональное дополнение в
Для V е (С“])1 по определению имеем
V е Ь2(□, р), IV ■ г(1х = 0 Мг е С£.

Поскольку V € ЬДО) (это следствие условия р-1 € ТДШ)), то сглаживание V11 (с бесконечно гладким ядром) сохраняет ортогональность множеству СДу т.е. ук Т СЬД. Известно, что гладкий периодический вектор (в данном случае это ук), ортогональный всем гладким соленоидальным векторам, является потенциальным (см. лемму 1.4). Отсюда следует, что вектор ун потенциален, у'1 = У (IV/,), где Лг/, е Ярсг, (7Г/г) = 0. Так как по свойствам сглаживания
ук у в ТДП),