Интегральные представления и краевые задачи для некоторых линейных дифференциальных уравнений с сингулярной точкой и сингулярной линией

• Автор: Зарипов, Сарвар Кахрамонович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 121 с.

Введение
Глава 1
Оглавление

Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с
двумя граничными сингулярными точками
§ 1.1. Модельное линейное обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка с двумя граничными сингулярными
точками
§ 1.2. Немодельное линейное обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка с двумя граничными сингулярными
точками
§ 1.3. Постановка задач типа Коши для модельного
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с
двумя сингулярными точками
§ 1.4. Постановка задач типа Коши для немодельного
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с
двумя сингулярными точками
Глава
О некоторых классах линейных дифференциальных уравнений в частных производных четвёртого порядка, для которых вся граница является особой
линией
§2.1. Привидение линейного дифференциального уравнения в частных производных четвёртого порядка в виде произведения двух линейных. . *. дифференциальных операторов второго
порядка
§2.2. Нахождение решения линейного дифференциального уравнения четвёртого порядка в случае, когда корни характеристических
уравнений являются вещественными и разными
§2.3. Нахождение решения линейного дифференциального уравнения четвёртого порядка в случае, когда корни характеристических
уравнений являются вещественными и равными
§2.4. Нахождение решения линейного дифференциального уравнения четвёртого порядка в случае, когда корни характеристических
уравнений являются комплексно-сопряжёнными
§2.5. Постановка задач типа Коши для линейного дифференциального уравнения в частных производных четвёртого порядка с
четырьмя сингулярными линиями
Список литературы

- * Введение
Актуальность темы. В теории дифференциальных уравнений с
частными производными решение многих задач связано с соответствующими обыкновенными дифференциальными уравнениями. Многие задачи прикладного характера, описываемые уравнениями математической физики, осесимметрической теорией поля, пространственной осесимметрической теорией упругости,- гидродинамики и других разделов математической физики приводят Не изучению дифференциальных уравнений с частыми производными с сингулярными коэффициентами или вырождающихся дифференциальных уравнений. Поэтому теория обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами, уравнений в частных производных с сингулярными коэффициентами, также
вырождающихся дифференциальных уравнений являются одним из важных разделов теории-дифференциальных уравнений, которые находят широкое и многообразное применение в физике и технике. Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Изучению теории дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами было посвящено большое количество работ. В работах американского математика A. Weinstein [7]-[9] изучено модельное эллиптическое уравнение - с сингулярными линиями, найдено фундаментальное решение рассматриваемого уравнения и на этой основе исследованы некоторые краевые задачи. В книге R.W. Carroll, R.E. Showalter
[93] изучено гиперболическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу и получены некоторые интегральные представления. Первой фундаментальной работой в этом направлении можно считать работу М.В. Келдыша [21], где впервые было доказано, что-’для вырождающегося эллиптического уравнения в некоторых случаях можно давать условия типа Дирихле в некоторых частях границы рассматриваемой области, т. е. в некоторых случаях часть границы области можно освобождать от граничных условий.
В работах R.P. Gilbert [13]-[16] были получены интегральные представления многообразия решений для эллиптических уравнений через решения уравнений с_ре1^ляр.ными коэффициентами.
В совместной раБоте В.Ф. Волкодавова и II.Я. Николаева [4] изучены краевые задачи для уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу, а в работе В.Ф. Волкодавова [5] для этого уравнения решена задачи Коши - Гурса.
Исследованию вырождающихся уравнений или дифференциальных уравнений в частых производных с сингулярными точками или сингулярными линиями посвящено много работ.
До настоящей улфШрни в основном изучались линейные дифференциальные уравнения с вырождением или с сингулярными коэффициентами. Фундаментальные результаты по теории сингулярных дифференциальных уравнений и вырождающихся дифференциальных уравнений получены в работах М.В. Келдыша [21], A.B. Бицадзе [2], [3], М.М. Смирнова [94], [95], В.Ф. Волкодавова [4], [5], А.М. Нахушева [34],
.4 >ы •tv.'." з
А.И. Янушаускаса[100],-’Л.Г. Михайлова [28], [29], А.Д. Джураева [17], Н. Раджабова [59]-[90], З.Д. Усманова [96], [97], A. Weinstein [7]-[9], R.P. Gilbert [13]-[16], R.W. Carrol, R.E. Showalter [93], Т.Д. Джураева [18], [19], М.М. Салохитдинова [91], Д.С. Сафарова [92] и других авторов.
Многие задачи для гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами или вырождающегося гиперболического уравнения на плоскости теснейшимобразом связаны с вырождающимися обыкновенными дифференциальными уравнениями или обыкновенными дифференциальными уравнениями с сингулярными точками.
Значительные результаты по теории вырождающихся уравнений, гиперболических уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами получены в работах A.B. Бицадзе [2], [3], М.М. Смирнова
[94], [95], В.Ф. Волкодавова [4], [5], А.М. Нахушева [34], R.W. Carrol, R.E. Showalter [93], Н. Раджабова [59]-[90], JI. Раджабовой [38]-[58] и других авторов.
Исследованию линейных гиперболических уравнений второго и третьего порядков с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящена большая серия работ Н. Раджабова [41], [59], [63], [88] и JI.H. Раджабовой [38]-[46].
Некоторые результаты для дифференциального уравнения гиперболического типа 4-го порядка с одним и двумя сингулярными линиями получены в работах Н. Раджабова, С.С. Ганиева [71], [88]. В работе Н. Раджабова [63] получено представление многообразия решений через четыре произвольные функции, на основе которых выяснена постановка ряда граничных задач и найдены их решения.
Исследованию эллиптического уравнения второго порядка в окружности, когда граница окружности является сингулярной линией, посвящена работа Н. Раджабова [61]. Вопрос о решении подобной задачи для гиперболического уравнения до настоящего времени остаётся открытым.
Основной целью настоящей диссертационной работы является изучение ряда обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными сингулярными точками и приложения полученных результатов в теории гиперболических .уравнений четвёртого порядка, для которых вся граница является особой линией.
В настоящей диссертационной работе исследуется модельное дифференциальное уравнение вида
. А-2х , В . . f(x) /П
у (x)-i---------У (*Н — V(л:) =---------------- -. (1)
(х-а)ф — х) (х-а) ф-х) (*-«) ф-х)
Для модельного дифференциального уравнения (1) в зависимости от корней соответствующих характеристических уравнений, найдено явное представление многообразия решений через произвольные постоянные.
Далее, изучается общее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя граничными сингулярными точками вида
-fff г- <2>
(х-а)ф-х) (х-а)'ф-х) (х-а)-ф-х)

§1.2. Немодсльное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя граничными - .' Г-^ГТ,-сингулярными точками.
Теперь рассмотрим болсс общее уравнение (1.1.1), т.е., когда Д(х), В(х) - произвольно заданные функции на Г. Как и в §1.1, при помощи точки х0 отрезок Г разобьём на два отрезка Г{ = (х:д <х<х0}, Г2 ={х:х0 <х<б} и уравнение (1.1.1) на отрезках Г,, Г2 соответственно представим в виде:
/(х) + ЛМ /(х)+(1.2.1)
х-а - (х-«р ■?; .--(х-а)

6-х 1 (6-х)2 1 (Ь-х)
у'Ф) + гг.£Щг (1 -2-3)
Ь-х ' (В-ху .w . (Ь-х)

л.м-Діі. в,«)=ДД, (1.2.4)
х-а (х-а) (х-а)
Уравнение (1.2.1) на Г} представим в виде
+ (1-2-5)
х-а (х—ау * * (х-а)

F3(x) = F[ (х) - [Л, (х) - В, (а)іу(х) - [(Д, (х) - Д, (а)Х-х - а)У(х) (1.2.6)
Уравнение (1.2.3) на Г2 представим в віще:
y’{x) + ^y'{x)+-^Ly{x) = JM^ (1.2.7)
6-х . ihrrxf/t . (6-х)2 '

6) (х) = F, (х) + В2 (6) - В2 (х)]у(х) + [(Д2 (6) — Д2 (х)Хб—х)]у'(х) (1.2.8)
Вначале находим общее решение однородного уравнения (1.2.5). Решение однородного уравнения (1.2.5) будем искать в виде у(х) = (х — а)", //-const
Тогда для определяй#:'//-получим алгебраическое уравнение //2-(l-^(a))// + 6,(a) = 0 (1.2.9)
Случай 1.2.1. Пусть корни характеристического уравнения (1.2.9) являются вещественными разными и, кроме того //| у(х) = (х — а У' :ct+ (х- дХїїу Г щу | [fff]
где с-,,с2 - произвольные постоянные числа, Dt - дискриминант
характеристического уравнения (1.2.9). Подставляя вместо F3(f) её значение

■'Тії ГГ,-«і *