Сходимость проекционно-разностных методов приближенного решения квазилинейных параболических уравнений

• Автор: Сотников, Денис Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 97 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
§1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С НЕСИММЕТРИЧНОЙ ФОРМОЙ ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ ПРОЕКЦИОННЫМ ПОДПРОСТРАНСТВАМ
1.1. Случай не гладких исходных данных задачи .
1.2. Случай гладких исходных данных задачи
§2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
С НЕСИММЕТРИЧНОЙ ФОРМОЙ ПО ПРОЕКЦИОННЫМ
ПОДПРОСТРАНСТВАМ ОБЩЕГО ВИДА
§3. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМОЙ
§4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМОЙ
В СЛУЧАЕ ОБОБЩЕННОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
§5. СХОДИМОСТЬ В СИЛЬНЫХ НОРМАХ
ДЛЯ ГЛАДКО РАЗРЕШИМОГО УРАВНЕНИЯ
С СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМОЙ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Данная диссертационная работа посвящена теоретическому обоснованию сходимости и получению оценок скорости сходимости проекционноразностных методов, позволяющих эффективно-строить приближенные решения для квазилинейного параболического уравнения. Установлены оценки погрешности приближенных решений к точному в различных нормах. Доказана сходимость и прослежена зависимость порядка скорости сходимости погрешности к нулю.
Параболическое уравнение рассматривается в вариационной форме. Изучение параболических уравнений, представленных в‘вариационной форме наиболее последовательно представлено, например, в монографиях [1|, [2], [3], где рассматриваются линейные задачи. Нелинейные задачи в вариационной форме изучаются, например, в [4] и [5]. Как правило, при этом главное внимание уделяется вопросам слабой разрешимости таких задач.
Методами, развитыми в отмеченных монографиях можно изучать разрешимость квазилинейных параболических уравнений. Например, слабая разрешимость таких задач была установлена в [6|. Разрешимость квазилинейных параболических уравнений изучалась многими авторами, отметим здесь монографии [7] и [8], а также имеющиеся там библиографии. При этом получены условия, позволяющие получать решения различной гладкости, в том числе и достаточно гладкие.
Вариационная форма параболического уравнения хороша не только для обоснования разрешимости исходной задачи, но и весьма удобна для рассмотрения проекционно-разностных методов приближенного решения таких задач. В диссертации изучается проекционно-разностный метод приближенного решения квазилинейных параболических уравнений, в которых для аппроксимации по времени используется схема Эй-

лера, неявная только в главной части. Получаемая при этом разностная задача линейна и устойчива. Обратим внимание, что проекционноразностные методы являются методами полной дискретизации параболических задач. При этом приближенная задача сводится к серии линейных конечномерных алгебраических систем уравнений. В литературе предложенный способ дискретизации задач называют также-методом. Ротэ-Галеркина. Связывают это с работой Ротэ [9], который применил по времени простейшую неявную разностную схему к одномерному параболическому уравнению второго порядка.
Очевидно, что сходимость приближенных решений к точному зависит не только от аппроксимации задачи по временной переменной, но и от аппроксимации по пространственным переменным соответствующими конечномерными подпространствами. Отметим, что для численной реализации таких методов весьма удобны конечномерные подпространства типа "конечных элементов", например, [10] - [17]. Результаты, полученные в диссертационной работе, ориентированы именно на такие конечномерные подпространства типа "конечных элементов".
Проекционно-разностные методы для приближенного решения линейных параболических задач изучены достаточно хорошо. Из монографий, уделяющих внимание этой тематике выделим [3], [7], [10], [12], [15] -[22]. Среди работ посвященных исследованиям проекционно-разностного метода для параболических уравнений отметим работы [231 - [321.
Из работ, наиболее близких к полученным в диссертации результатам, выделим работы [33] - [38], в которых рассматриваются линейные параболические задачи.
Главное в работе — это получение оценок погрешностей приближенных решений, установленных в условиях слабой, обобщенной и более гладкой разрешимости исходной параболической задачи. Эти оценки по-

Из (1.29), (1.16), (17) и (1.28) получим оценку

II пи"-«8иь+
гТ / ГТ 2/Р