О гладкости решений эволюционных уравнений с вырождением

• Автор: Ярцева, Наталия Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 78 с. : ил.

Глава I. Элементы теории эволюционных уравнений
§1.1. Основные обозначения и определения
§1.2. Эллиптические операторы
§1.3. Оператор-функции и полугруппы
§1.4. Позитивные операторы и неравенства
§1.5. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
Глава II. Уравнение параболического типа с оператором Келдыша - Феллера
§2.1. Некоторые характеристики оператора Ь
§2.2. Интегральные тождества
§2.3. Исследование решений стационарного уравнения на полуоси
§2.4. Применение к эволюционному уравнению
§2.5. Примеры
Глава III. Эллиптическая периодическая задача с вырождением
§3.1. Пространства периодических функций
§3.2. Эллиптический оператор с вырождением по одной переменной. Оцен-

ка первых производных решений
§3.3. Об одной эллиптической задаче с вырождением в Ьр
§3.4. Решение периодической задачи
§3.5. Существование решения задачи (3.3.4),(3.3.5)
Литература

Вопросы общей теории уравнений в частных производных с переменными коэффициентами являются основными в случае, когда тип изучаемого уравнения меняется в рассматриваемой области. И этому направлению посвящены многочисленные работы.
Так, в известной работе М.В.Келдыша [10] впервые рассматривается задача Дирихле для уравнения второго порядка эллиптического типа, вырождающегося в уравнение параболического типа на части границы, являющейся характеристическим многообразием для этого уравнения.
Основополагающие исследования по изучению вырождающихся уравнений проведены Ф.Трикоми, В.Феллером, В.И.Смирновым, С.Г.Михли-ным, М.И.Вишиком и др.
Фундаментальные результаты в этом направлении получены воронежскими математиками, где основное место занимают работы В.П.Глушко и его учеников О.М.Смелянского, А.В.Глушака, Ю.Б.Савченко и др.
Развивая одно из главных направлений в теории уравнений с частными производными, такое, как сведение этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами, были применены эти методы и для изучения вырождающихся уравнений. Здесь весьма плодотворным явился переход к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве.
С этой точки зрения сингулярные дифференциальные уравнения исследовались во многих работах как в нашей стране, так и за рубежом.

Очевидно, что, если /3 > О, Ь > 0 то Ь Е У+, если же /3 > О, Ь < 0, то Ь Е V-. При этом У+(к) = щщ, У-(к) = щщ, где
|Ь|“
Т+(к) = Т.(к)

а+0

• ка+&.
Теорема 2.5.1. Если Ъ > 0 и /3 > 0 и а + /3 > 1, то задача (2.5.1)-
(2.5.2) имеет единственное решение и(1,х) €93^^ при каждом Ь > 0 и справедливы оценки
ди(і, х)

< с(а,р)\д\^\Ьд\
а+в ' а+20
03 •
(2.5.3)
Доказательство. Существование и единственность решения задачи (2.5.1)-
(2.5.2) следует из теоремы 2.3.4. Более того, в этом случае решение представимо в виде
и(Ь,х) = и{І)д{х), (2.5.4)
где и{і) - сжимающая полугруппа, генератором которой является оператор А, и, следовательно, справедлива оценка ||и(і, ж)||«в < 1Ы|в- Но тогда для д Е 0(А) имеем оценку
ІМІв = 1И«х||в = \Аи(і)д\в = \и(і)АдУ < \Ад\ъ = \1д\^.
Здесь мы воспользовались коммутативностью генератора со своей полугруппой в И (А).
Но тогда, пользуясь (2.3.20), получаем

< т£[2й||и||в + У+(й)||£и||в] < “£[2%||в + У+{к)\ЩЫ ■
лс>и л>и
Отсюда следует (2.5.3). Теорема доказана.