Новые классы задач интегральной геометрии

• Автор: Бегматов, Акрам Хасанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 159 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Задачи интегральной геометрии по семействам парабол
§ 1.1. Задача в полуплоскости с весовой функцией
специального вида
§ 1.2. Оценка одной гармонической меры
§ 1.3. Единственность решения задачи в полосе.
Вспомогательные утверждения
§ 1.4. Устойчивость решения задачи
Глава 2. Восстановление функции в полосе через
интегралы по кривым с особенностью в вершине
§2.1. Постановка задачи. Вспомогательные утверждения
§2.2. Оценки интеграла Л(р)
§ 2.3. Единственность, устойчивость и формула
обращения
§ 2.4. Теорема существования решения
§ 2.5. Единственность и устойчивость решения задачи
с возмущением

Глава 3. Задачи интегральной геометрии по семейству конических поверхностей
§3.1. Постановка задачи и исследование в пространствах
четной размерности
§3.2. Нечетномерный случай
§ 3.3. Единственность и устойчивость задачи
с возмущением
Глава 4. Задача обращения лучевого преобразования
с неполными данными
§4.1. Постановка задачи. Теорема единственности
§ 4.2. Оценка устойчивости
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Приведем определение задачи интегральной геометрии [41].
Пусть и(х) — достаточно гладкая функция вй"и {Б(у)} — семейство кусочно-гладких многообразий в этом пространстве, зависящих от параметра у = (уь ук).
Пусть, далее, от функции и(х) известны интегралы
где д(х,у) - заданная весовая функция, (1я - элемент меры на Б (у) . Задача интегральной геометрии есть задача восстановления функции и(х) по известным интегралам от нее, т.е. по функции f(y).
Задачами интегральной геометрии волътерровского типа называются задачи, которые могут быть сведены к исследованию операторных уравнений Вольтерра в смысле определения, данного М.М.Лаврентьевым [65]. Приведем также определения слабой и сильной некорректности задачи интегральной геометрии. Задача реше-

имеем
~~дх' ~ / і (1.1.21)
О х—Іі о2 г / 2/ ж+/г
— = / / Кх*(х’Уіг})и(£,'П)(1£(іг)- (1.1.22)
О ж-Л
Из формул (1.1.21)—(1.1.22), учитывая ограничения, наложенные на весовую функцию 1г (). и используя выражения для соответствующих производных функции /і(-), получим оценку
ІІ(/і*,у)ІІи?(вЗ.) < є||гА(ж, 2/)IIгі.о(ка), 0 < є < 1. (1.1.23)
Интегральные операторы, стоящие в левых частях уравнений
(1-1.1) и (1.1.20), обозначим соответственно через Ао и А. Уравнения (1.1.1) и (1.1.19) при этом соответственно запишутся следующим образом
А0« = /, (1.1.24)
Аом + Аі« = Т. (1.1.25)
Из вышеизложенного следует (см. [119]), что для оператора Ао из (1.1.25) существует левый обратный оператор Ад1. Подействовав слева оператором Ад 3 на обе части уравнения (1.1.25), получим
и + А0 3Аім = А0 ХТ
(1.1.26)