Обобщенный метод характеристик в решении задач оптимального управления с фиксированным моментом окончания

• Автор: Токманцев, Тимофей Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Задана оптимального управления

1.1. Постановка задачи

1.2. Предположения

1.3. Уравнение Веллмана

1.4. Классические характеристики уравнения Веллмана

1.5. Свойства функции цены

1.6. Производная Гато

Глава 2. Задача при ослабленных предположениях

2.1. Ослабленные предположения

2.2. Свойства гладкости функции цепы
2.3. Супердифференциал функции цены
Глава 3. Численная аппроксимация функции цены
3.1. Алгоритм построения аппроксимации функции цены
3.2. Оценка численной аппроксимации функции цены
3.3. Примеры численного построения функции цены
Глава 4. Построение сеточного оптимального синтеза
4.1. Алгоритм построения сеточного оптимального синтеза
4.2. Оценки результатов применения сеточного оптимального синтеза
4.3. Примеры численного построения сеточного оптимального синтеза
Глава 5. Задача идентификации макроэкономической модели

5.1. Макроэкономическая модель
5.2. Задача восстановления динамики макроэкономической модели
5.3. Численный алгоритм решения
5.4. Численное решение задачи
Список публикаций
Литература
Введение
Актуальность работы. Работа посвящена исследованию свойств задачи оптимального управления с фиксированным моментом окончания и роли характеристик уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в численном решении этой задачи. Предлагается конструкция сеточного оптимального синтеза и исследуется ее эффективность. Разработаны и протестированы на ряде модельных задач оптимального управления программные реализации предложенных алгоритмов. Рассмотрено приложение конструкции сеточного оптимального синтеза к исследованию макроэкономической модели.
Истоки теории оптимального управления восходят к работам JI.C. Понт-рягина [1], R. Bellman [2], H.H. Красовского [3], R. Isaacs, W.H. Fleming,
A. Fridman.
Фундаментальный вклад в развитие теории оптимального управления внесли В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, Б.Н. Пшеничный,
H.H. Моисеев, Ф.Л. Черноусько, В.А. Якубович, Ю.Г. Евтушенко, L.D. Berkovitz, А.Е. Bryson, F.H. Clarke, G. Leitmann, Y.-C. Ho, R. Olsder, E.O. Roxin, J. Warga, R.J. Elliott, N.J. Kalton.
Существенное развитие теория получила в работах В.И. Зубова, Ф.М. Кирилловой, Р.Ф. Габасова, В.Ф. Кротова, A.A. Меликяна, A.A. Чи-крия, С.М. Асеева, A.A. Аграчева, Л.Д. Акуленко, A.B. Арутюнова, В.И. Благодатских, Н.Л. Григорепко, А.Я. Дубовицкого, A.B. Дмитрука, В.А. Дыхты,
B.И. Жуковского, М.И. Зеликина, А.Д. Иоффе, Ю.С. Ледяева, A.A. Милютина, М.С. Никольского, Г.К. Пожарицкого, Е.С. Половиикина, H.H. Петрова, Л.А. Петросяна, В.М. Тихомирова, Е.Л. Тонкова, В.И. Ухоботова, С.В. Чистякова.
Настоящая работа лежит в рамках концепции оптимального позиционного управления, предложенной и развитой в работах H.H. Красовского [4].

Согласно формуле (2.8) выполняются равенства
г(<,ж;/л(’1с1и)) = сг^ж0(Г; Ь, ж, /х(-|йи))^

р(т, х1(т), и)у,(т<1и) Дг

{х(Т, у0)) + ] дт, х(т, у0),р(г, у°))йт = ^ У°), г
для у° = <т(х°(Т)).
Аналогично теореме 2 из работы [52] можно показать, что каждой характеристике ж(') соответствует некоторое измеримое управление г/°(-) 6 Е/^о,^), порождающее траекторию ж°(т;<, ж;г1°(-)) системы (2.7), совпадающую с характеристикой ж(')> причем:
/(*, х,и°(-)) = сг(х°(Т;Ьх,и°(-))) + д(т,х°(т),и°(т))с
= г/0)) + 5°(т, ж (г, у°),Ят, У0))*- = *(*, У°) (2.11)
для у = о-(ж°(Т)). Из формулы (2.9) вытекает равенство
Уи,х)= пип 1и,х,и(-))= пип Ш.у). и(-)ег/(г0,т)

Для произвольного компактного связного множества О а С с1Пу введем в рассмотрение множество О (О о) С сШу такое, что Со С (7, и
С(С0) = {(1, ж) £ с1Пу | Зж(чУ) - решения (1.8), (1.9), Э(Е0, ж0) € С0:
(2.12)
Я*0>у) = хо,х(г,у) = ж}.