Исследование некоторых смешанных краевых задач теории аналитических функций

• Автор: Лисовец, Наталия Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Одесса
• Количество страниц: 150 c. : ил

0 01 ЕР1А НЙ Е

ВВЕДЕНИЕ,

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

§ I. Обозначения и вспомогательные сведения

§ 2. Сингулярные интегральные операторы с матричными кусочно- непрерывными коэффициентами специального
вида

§ 3. Негеровосгь и индекс некоторых вспомогательных

операторов

ГЛАВА II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В

НЕСКОЛЬКИХ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ.

§ 4. Постановка задачи

§ 5. Необходимые и достаточные условия нетеровости и
формула для вычисления индекса задачи
§ 6. Подсчет дефектных чисел задачи в неособых случаях
§ 7. Дифференциальные граничные задачи
ГЛАВА III. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУНКЦИЙ,АНАЛИТИЧЕСКОЙ В
МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ
§ 8. Постановка задачи. Предварительные результаты *
§ 9. Исследование на негеровость
§ 10.Окончательные результаты
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕД'ЕНИ Е
Диссертация посвящена исследованию многоэлементных граничных задач для функций (кусочно) аналитических в одной или нескольких конечных либо бесконечных многосвязных областях с краевым условием, содержащим сдвиг, комплексное сопряжение и производные искомых функций. Предполагается, что сдвиг переводит компоненты связности границ областей друг на друга;одни компоненты с сохранением, а другие - с изменением ориентации. Задачи с таким сдвигом мы будем для краткости называть смешанными.
0.1°. Теория краевых задач со сдвигом является важным разделом современной математической физики. Историю вопроса, а также подробную библиографию, доведенную до 1975 г., можно найти в монографии Г.С.Лигвинчука [.42]. Здесь отметим лишь, что пврвые постановки краевых задач со сдвигом содержатся еще в грудах Б.Римана [57], весьма важное стимулирующее влияние на развитие этой теории оказали классические работы К.Газемана [82] и Т.Карлемана[81].
С начала сороковых годов по инициативе'Н.И.Мусхелишвипи в Советском Союзе началась интенсивная работа по исследованию краевых задач теории аналитических функций со сдвигом и сопряжением. Этому в немалой степени способствовало и го,что ряд важных задач математической физики и механики удалось свести именно к задачам такого рода.В классических грудах Д.А.Квеселава C3I] »Н.П.Векуа [5] (см.также монографии Н.И.Мусхелишвипи [50],#.Д.Гахова [12],И.Н.Ве-куа[3],А.Д.Джураева [17]),Г.С.Лигвинчука [42] ,Э.И.Зверовича[20]
Л.Г. Михайлова [49], Л.И.Чибриковой [76], B.C. Рогожина [77] и др., а также их многочисленных учеников и последователей,теория краевых задач со сдвигом сформировалась в развитую область с

четко очерченным кругом задач, с широким арсеналом средств и методов исследования и разнообразными приложениями к смежным теориям, таким как анизотропная теория упругости, теория бесконечномалых изгибаний поверхностей положительной кривизны и многим другим, Важную роль как в самой теории граничных задач, так и в приложениях. играет также исследование дифференциальных граничных задач (в том числе со сдвигом) и тесно связанных с этими задачами сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. Отсылая читателя за подробными историческими и литературными указаниями к уже цитировавшимся: монографиям. [12., 50, 5, 5] , упомянем: здесь лишь известные работы [72,, И, 2.2,3*
Хорошо известно, что краевые задачи для аналитических функций допускают явное решение в квадратурах далеко не всегда. Поэтому одним из центральных вопросов в теории краевых задач со сдвигом: становится вопрос ее качественного исследования: определения условий нетеровости, вычисления дефектных чисел и индекса задачи. Поясним', что в соответствии с принятой в теории негеровых операторов терминологией (см.*, например, [ 52.Л ) здесь и всюду в дальнейшем: нетеровой называется нормально разрешимая задача с конечными дефектными числами Сир; их разность эМЕ-р называется индексом задачи; Под нормальной разрешимостью понимается замкнутость образа задачи (множества правых частей, при которых задача разрешима); под дефектными числами - размерность (В ядра (число линейно-независимых решений однородной задачи) и коразмерность|р об^раза задачи (число ее условий разрешимости)•
Мощным: методом, построения нетеровской теории краевых задач является метод интегральных: уравнений. Этот метод, который часто применяется в комбинациях с методом конформного склеивания, от-

^»іпоііЕса^сгр-^сг.)^ . і - у •
Для определенного в п.З.І°оператора Д‘ ^^ ^ ) ,
переводящего функции ^ В вектор 1^-1 Г- І . , введем операторы ЛР=^ І УД • П : £ сп - і;і; сг,) ,
4 4 Следуя п.І.З, построив для оператора ^ блок-оператор
т ^Ц]д$Д
Г Др ^С! • См° с^С^ДР,, сЦ^ІО^ДОр
Для доказательства посцеднего равенства заметим, что Л
= (Ц,П,иД где оператор. V ЙК„. , а К„,
интегральный оператор с ядром ^„-у1 4 ^ е р уе £ и потому - компактен* Следовательно

что дает (А
.,о/-<ЧКД
(Рг..- рг/“
(здг)
Поскольку Л обратим, 1|гсЬАр = -1пс1%^ , с другой
стороны, равенство РС~СС} ( , с.39) дает Х>РСО~
7 V г г г
— <4лОС^ • Дд.Следовательно ]лсЦд = £(д{- £ 9^ )
Вычислим теперь ХьсС Р^СС? р * Используя, введенный в п.З,Т°(и обратимый по лемме 3.1) оператор А » получим на основании (Э.1Я) :