Двумерные полиномиальные динамические системы с алгебраическими инвариантными множествами

• Автор: Кондратьева, Юлия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 117 с.

I. Системы дифференциальных уравнений с инвариантными
алгебраическими кривыми
1.1. Об алгебраических предельных циклах полиномиальных векторных полей
1.2. Об инварантных алгебраических кривых полиномиальных векторных полей
1.3. Свойства кофакторов при наличии у системы инвариантных кривых в виде окружностей
II. О предельных циклах в виде окружностей
2.1. Динамические системы с нелинейностями четвертого порядка, допускающие
предельными циклами окружности
2.2. О предельных циклах в виде окружностей,
центры которых лежат на одной прямой
III. Линейные частные интегралы и интегрируемость по Дарбу
3.1. Полиномиальные динамические системы
с линейными частными интегралами

3.2. Интегрируемость по Дарбу кубической системы
с линейными частными интегралами
Литература

Системам дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями посвящены многочисленные исследования. Изучению таких систем большое внимание уделялось в трудах А. Пуанкаре [70], А. Дюла-ка [48], Г. Дарбу [96] и других математиков.
Одной из основных проблем для двумерных вещественных полиномиальных динамических систем является вторая часть шестнадцатой проблемы Гильберта о максимальном числе и взаимном расположении предельных циклов ([69], [75]). Среди работ, связанных с изучением этой проблемы, следует отметить исследования A.A. Андронова, Е.А. Леон-тович [2], H.H. Баутина ( [4], [6]), Н.Ф. Отрокова [65], Л.А. Черкаса [82], Е.М. Ландиса и И.Г. Петровского [66], А.Д. Морозова [63], К.С. Сибирского [73], S. Shi [101], L. Chen и М. Wang [91], H. Zoladek [105], Ю.С. Ильяшенко ( [52], [53], [54]), R. Bamon [86], J. Ecalle [97] и других авторов.
В настоящее время, несмотря на значительные усилия, проблема оценки числа предельных циклов полиномиальных дифференциальных систем далека от завершения даже для малых значений степеней нелинейностей.
В середине двадцатого века возрастает интерес к задаче, поставленной
Н.П. Еругиным ( [51], [50]), о выделении множества двумерных систем с заданным программным движением. Эта задача послужила толчком к весьма обширным исследованиям систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую специального вида или со сне-

(2.1.7), (2.1.8), (2.1.9), получим систему и + Си
(а2 — аз)Вг + (аз — а)В2 + (ах — а,2)В3
(а2 — аз)«!^! + (аз — а)а2В2 + (ах — а2)аз.Вз
(а2 - а3)ах5х + (а3 - а1)а2В2 + (аг - а2)а3В3 = Вих/2
(2.1.10)
(а2 — аз)Лх + (аз — ах)Л2 + (ах — а2)А3
(а2 — а3)аА + (аз — ах)а2Л2 + (ах — а2)азЛз
(а2 — аз)ахЛх + (аз — ах)а2Л2 + (ах — а2)азЛз = (и + Аих)/2
(а2 - оз)ах//$ + (аз - ах)а2/1§ + (ах - а2)а3/^ - 0.
Последнее уравнение в (2.1.10) вместе с (2.1.6) и (2.1.8) рассматриваем как систему относительно /х®, /х!>, /хЦ, считая м и м2 параметрами.
При и ф 0 эта система и (2.1.10) имеют решение
и а3-а2 В аг-а3 В а2 - аг В
С = , и> = 7Г) £>2 = -Г) -03 =-—,
ь*х а2 — ч3 1 аз — ах 2 ах — а2
2м2 (Ад + м)(а3 - а2) , 2м2 (Лг/х + г/) (ах - аз)
1 г/х 2щ (а2 — а3) ’ 2 мх 2мх(а3-ах)

2г/2 (Лг/х + м)(а2 - ах)
2щ (ах - а2)
(2.1.11)
0 _ гх(а2аз - азаг) + ь>2{а3 - а2) 0 _ м(а3ах - аха3) + г/2(ах - аз)
1 1/х (а2 - а3) ’ ^(аз-аО
о _ и{аа2 - аг^х) + и2(а2 - аг)
^(ах — аг)