Особые периодические решения квазиоднородных систем

• Автор: Чурин, Юрий Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 165 с.

ВВЕДЕНИЕ
В качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений за метную роль играют задачи об исчезновении и появлении периодически} решений при изменении параметров системы. По самой своей природе ЭТ1 задачи относятся как к теории колебаний, так и к теории бифуркаций, 1 по этой причине имеют также важное прикладное значение.
Рассмотрим систему
правая часть которой непрерывна, удовлетворяет условию единственностг и периодична по t
Допустим, что система (1) имеет со—периодическое решение х = д).
непрерывно зависящее от параметра //. £ (до, Да), но непродолжимое с сохранением непрерывности за точку До. Говорят в этом случае, что периодическое решение д) исчезает при переходе параметра /а через До- Само значение До обычно называют бифуркационным значением параметра.
Наиболее изученным является случай, когда периодическое решение исчезает, оставаясь в ограниченной части фазового пространства. При исследовании этого случая чаще всего используется классический метод малого параметра в сочетании с методом преобразования Пуанкаре или методом точечных отображений.
Менее изучен случай, когда этого не происходит, то есть, когда для любого фиксированного а > 0 график исчезающего периодического решения т/>(Д/х) имеет точку в множестве
— = Х(хХ, д), (ж,£, д) е М" х Й х М,
Х(жД + со, д) = А'(ж, д).
Л/; = {(М) бЗГхМ: ||:с|| >а}

при каком-либо значении параметра, сколь угодно близком к до-

Если реализуется второй из указанных случаев, то следуя В. А.Плиссу [1], будем говорить, что периодическое решение исчезает, уходя в бесконечность при ц —► //о-
Возникающие нри изучении этого случая трудности связаны прежде всего с тем, что множество 71(ф) всех точек (ж, {) 6 К" х К таких, что х — Нт фи, р/Л для какой-либо последовательности {рЛ, стремящейся к
&—> оо
Но, должно содержать (если оно непусто) графики решений системы (1) с и — но, непродолжимые на отрезок, длина которого равна периоду со. Отсюда, в частности, следует, что амплитуда уходящего в бесконечность периодического решения неограниченно растет при /л —» но- Таким образом, по своей природе описанное явление имеет характер резонанса. По этой причине мы называем Л(ф) резонансным множеством уходящего в бесконечность периодического решения ч/)(Вд). Как уже отмечено выше, на резонансном множестве обязательно присутствуют точки, в которых преобразование Пуанкаре не определено.
Стимулом к более детальному изучению явления, связанного с уходом периодического решения в бесконечность, явилась уже упомянутая выше статья В. А. Плисса [1 ] (более подробное изложение приведенных в ней результатов имеется в монографии [2]), в которой исследован вопрос о максимально возможном числе со—периодических решений у скалярных уравнений вида
р ГГ
-ш = хт+р10)хт-1 + ...Н-р„(4), (4)
где Р1, - . ,рт — лишдицевы функции, имеющие со своим периодом. Было выяснено, что в случае 4 изменение количества периодических решений у уравнения (4) при изменении его коэффициентов р

периодического решения является графиком так: называемого особого периодического решения. Ясно, что при обратном изменении коэффициентов Pi, ,рт из особого периодического решения будет ’’рождаться” периодическое решение уравнения (4).
Непосредственным продолжением результатов статьи [ 1 ] явилась работа А. П. Бегуна [ 3 ], в которой доказано отсутствие внутренних точек в множестве уравнений вида (4)ст) 4, обладающих особыми периодическими решениями.
Другим направлением, обобщающим упомянутые результаты В. А. Плисса, явились работы его учеников, касающиеся установления условий существования периодических решений, изучения их исчезновений и выясненния роли особых периодических решений систем

— — X(x,t), Х(х, t -f ш) = X(x,t), (x,t) 6lB xK, (5)

близких в окрестности бесконечности (т. е. в областях Аff, определяемых равенством (3)) к однородной системе

~ = Р(х), Р(Хх) = т Р(х); Р € {О}). (6)
Близость систем (5) и (6) определяется условием
\X(x,t) - Р(ж)|| < ||ж|Г М(\х\), (7)
где М(г) — непрерывная неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при г —> +оо.
В случае п = 2ип=3 отметим прежде всего работы О. А. Иванова [ 4,5 ] и Ю. В. Чурина [6,7]. Немаловажную роль в их исследованиях сыграли результаты Р. Е. Гомори [8,9] о поведении решений квазиоднородных систем.
Диссертация посвящена вопросу об исчезновении периодических решений, вызванном их уходом в бесконечность, в классе X = А'(си,М,Р) систем, близких к простой однородной степени т > 1 системе (6)

Х(х, = 0, то Г = {(ж, £) £ К” х К : г > р, <р £ Т(О) и является [2 + с1пп Уи(£)]— мерным многообразием класса С1. Здесь И7) — содержа-щая точку £ компонента связности пересечения канонической окрестности 0$(£) с неустойчивым многообразием
1.3.14'. Замечание. В общем случае существует непрерывное отображение 7г множества Г на [2 + мерное многообразие П'
7Г : Г —> П' = {(г, г2,£) £ И х М"-5“1 х К : г > р, ЦЦ < <5, :£ € М} ,
ставящее в соответствие точке ро € Гс координатами (го, гю, 220, Ц) точку (ньоо) е П'.
В следующем параграфе мы накладываем некоторые дополнительные ограничения на правую часть системы (1. 2.1), при которых Г оказывается подмногообразием в К” х К той же размерности, что и соответствующее ему многообразие однородной системы (1.1.1).
§ 4. Об условиях существования полуинтегрального многообразия в канонической области
Здесь мы продолжим изучение поведения решений системы (1. 2.1) в канонической области В = В$1Р(£) простого исключительного направления. Как и в предыдущем пункте подробно будет описан лишь случай, когда число V = (£, Р(£)) >
Прежде, чем накладывать дополнительные ограничения на правую часть системы (1. 2.1), остановимся подробнее на отображении 7г : Г -—> П, введенном в замечании 1.3.14. По определению, отображение 7Г всем точкам пересечения Г с множеством
/={(гЗ)£М"хМ : г — г0, к10 = 21 о, ||2|| <5, Ъ — } , (1- 4.1)
где (г0, 2ю, Ь) — фиксированная точка в П, ставит в соответствие эту точку. Таким образом, отображение п является взаимно однозначным тогда