Об асимптотике и оценках скорости сходимости решений системы уравнений Прандтля с малым параметром для ньютоновских и неньютоновских жидкостей

• Автор: Романов, Максим Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

Оглавление
Введение

1 Описание проблемы и обзор литературы

2 Структура работы

1 Основные понятия теории пограничного слоя

§ 1.1 Система Прандтля и задача о продолжении пограничного слоя

§ 1.2 Существование и единственность решений

1.2.1 Случай ньютоновской жидкости

1.2.2 Случай псевдопластической жидкости

2 Задача усреднения для пограничного слоя ньютоновской жидкости

§ 2.1 Некоторые замечания и формулировка результатов... 22 § 2.2 Вспомогательная линейная задача
2.2.1 Пространства У(0,Л7') и В. Разрешимость вспомогательной задачи в случае Г € £г(0, Т; V)*
2.2.2 Существование решения в случае Г € Ьр((д)
2.2.3 Пространства У (О, IV) и В. Разрешимость вспомогательной задачи в случае Г 6 -(О; Т; V)*
§ 2.3 Оценки скорости сходимости в переменных Мизеса ... 46 § 2.4 Оценки сходимости в декартовых кординатах

3 Усреднение пограничного слоя псевдопластической жидкости
§3.1 Постановка задачи
§3.2 Пространство 17 и вспомогательная задача
§3.3 Доказательство теоремы усреднения
3.3.1 Оценки скорости сходимости
3.3.2 Доказательство слабой сходимости
§3.4 Результаты в декартовых координатах
Список литературы

Введение
1 Описание проблемы и обзор литературы.
Теория пограничного слоя впервые был предложен Людвигом Прандт-лем в 1904 году в его докладе [60] как модель, описывающая движение вязкой жидкости вблизи твердого тела. Прандтль указывал, что при некоторых условиях течение жидкости в окрестности обтекаемого тела можно разделить на две области - сравнительно тонкий слой вблизи тела (собственно пограничный слой), где силы вязкого трения играют существенную роль, и область вне этого слоя, где силами трения можно пренебречь (внешний поток). Из-за прилипания жидкости к поверхности тела, скорость потока в пограничном слое резко меняется, возрастая от нуля на поверхности обтекаемого тела до скорости внешнего потока на границе погранслоя. Прандтлем были выведены уравнения, определяющие движение жидкости в пограничном слое -так называемая система уравнений Прандтля. Для случая плоско параллельного движения несжимаемой ньютоновской жидкости вдоль пластины, расположенной в плоскости у = 0, данная система имеет вид
{щ + иих + ьиу = ииуу + Щ + иих Ух Уу
Здесь (и, ь) - вектор скорости жидкости в данной точке, и - продольная составляющая внешнего потока жидкости, предполагаемая извест-

Возьмем 2 — 2 настолько малым, чтобы выполнялись неравенства к > 27зС1(2 — 2)8з 1 > 273(2 — £2)8,
где Сд — константа из (2.2.10). Тогда на всяком отрезке , 2] имеет место
{Р,щ1циь]Ш + \щ(*1)\1 > 8иР1М*)111+
" €[,£2]
+ 11ий|||2(4ь(2;к) - 2)1111и*°(<э*1 ,<2) ’
откуда в силу того, что Т < ос, следует утверждение (2.2.11) леммы. Под 1[гы2](£) здесь и далее понимается индикатор отрезка [£ц, 42].

Итак, мы получили оценку нормы в предположении, что и — классическое решение задачи. Докажем аналогичные оценки для обобщенного решения.
Для этого воспользуемся методом, приведенным в [9, Гл. 3, §12]. Определим в области
С}$,Р = {5 < х < IV, р < t < Т - р)
функции аДх, £), Ьр(х, €), ср(х,1), Рр как усреднения коэффициентов и правой части по переменным х и t с бесконечно дифференцируемым ядром радиуса р. Для корректности определения продолжим коэффициенты уравнения непрерывным образом в {Л' < х < N + р, 0 < t < Т} с сохранением свойств (2.2.1)—(2.2.3). Корректность определения Рр при достаточно малых р следует из компактности носителя Р в (Д Рассмотрим задачу
УР1 - ар(х, £)урхх + Ьр(х, г)урх + Ср{х, Ь)ур = с условиями
(2.2.16)