Задача Дирихле на двумерных стратифицированных множествах

• Автор: Ковалева, Лидия Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 114 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Фредгольмова разрешимость задачи Дирихле в весовом классе Сд

1.1 Постановка задачи

1.2 Концевой символ задачи

1.3 Редукция задачи Дирихле к нелокальной краевой задаче Римана

1.4 Фредгольмова разрешимость задачи Дирихле в классе

2 Теоремы об индексе задачи и асимптотике решений

2.1 Формула индекса для задачи Дирихле

2.2 Теорема об асимптотике

2.3 Разрешимость задачи Дирихле в пространстве •

3 Решение задачи Дирихле на различных двумерных стратифицированных множествах
3.1 Локальные характеристики в вершинах комплекса .
3.2 Задача Дирихле на тетраэдре и кубе

3.3 Задача Дирихле на «книжке» Литература
Введение
Уравнения на стратифицированных множествах моделируют целый ряд физических процессов таких как, например, диффузия в сильно неоднородных средах или средах со сложным геометрическим устройством, малые перемещения точек механических систем, составленных из упругих континуумов (мембран, струн и т.п.) разных размерностей.
К настоящему времени достаточно развитая теория дифференциальных уравнений па стратифицированных множествах имеется только в одномерном случае, на так называемых графах. Прогресс в этом направлении обеспечен работами Ю.В. Покорного, G.Lumer’a, S.Nicaise, J.von Belov и др. [53] - [58]. Успехи теории уравнений на произвольных стратифицированных множествах значительно скромнее, хотя первая из известных работ, которую можно отнести к этой тематике, опубликована Р. Курантом еще в 1926г. В ней он изучает колебания мембраны, к которой прикреплена струна. В конце 60-х годов М. Шехтср рассматривает задачу о трансмиссии, которую также можно отнести к данной тематике. В 90-е годы появляются эпизодические работы G. Lurner’a [55], а позднее работы S.Nicase [58], и J.von Belov [54]. Однако, состояние этой области к настоящему моменту далеко от того, чтобы говорить о сложившейся теории уравнений на стратифицированных множествах. Например, вопрос о классической раз-

Вычитая из и подходящую линейную функцию ах + Ьу + с, не ограничивая общности можно предполагать, что и(± 1) = 0. Полагая / = и|[_1 рассмотрим аналитическую функцию
1 Г1 /(£)сй Ф(г) = — / ,
7гг ^ — г
эта функция принадлежит классу С^ вне любой окрестности г = 0 и на основании полукруга ее вещественная часть совпадает с /.
Если /о(4) = |£|_Л/(£), то для функции
Фо{г) =
г хф(г), —1 < Л < 0,
г~х[ф(г) — ф{0)], 0 < Л < 1,
имеем выражение
тгг ./-! V 1^1 У 1-г [1-Л, 0 < А < 1.
Оператор /о —> фо, определяемой этой формулой, ограничен из пространства {/ € Со ([—1,1]; 0), /(± 1) = 0} в Сд (5,0) относительно нормы
(1.7). Следовательно, с точностью до аддитивной постоянной функция ф £ Сд (5, 0). Поскольку функция ф — ф имеет слабую особенность в точке 2 — 0 и ее вещественная часть обращается в пуль на основании полукруга, эта функция аналитически продолжается на единичный круг г < 1. Следовательно, с точностью до аддитивной постоянной классу Сд(5,0) принадлежит и функция ф.