Исследование корректности одномерных течений вязкого газа с цилиндрической и сферической симметрией

• Автор: Николаев, Владимир Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 90 c. : ил

ГЛАВА I. Глобальная разрешимость уравнений баротроп-ного движения вязкого газа с немонотонной функцией
состояния

§ I. Постановка задач

§ 2. Уравнения движения с плоскими волнами

§ 3. Уравнения симметричных течений

§ 4. Движение с переменной вязкостью

Глава II. Глобальная, разрешимость уравнений движения вязкого газа с осевой и сферической симметрией

§ I. Уравнения вязкого теплопроводного газа

§ 2. Обобщенные уравнения Бюргерса

ЛИТЕРАТУРА

Для описания движения сплошной среды часто используют системы дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрение таких моделей непосредственно вызывается потребностями практики»потребностями численных методов решения на основе ЭВМ. С другой стороны,многие математические задачи,возникающие при изучении проблем механики,представляют и самостоятельный науч-ный интерес,поскольку их решение связано с дальнейшим развитием теории дифференциальных уравнений.
Среди моделей гидроаэродинамики важное место занимает система уравнений Навье-Стокса вязкой снимаемой жидкости - модель, учитывающая как сжимаемость и теплопроводность,так и вязкость среды. Эта система весьма сложна: она имеет составной тип,а уравнения,входящие в нее,нелинейны. Поэтому часто используются и другие,более простые,модели вязкого газа. В частности,если рассматривается баротропное движение,то уравнение для энергии отделяется,хотя и в этом случае система сохраняет основные особенности - нелинейность и составной тип.
Обзор исследований по вопросам корректности краевых задач для уравнений вязкого газа приведен в монографии С.А.Антонцева, А.В.Кажихова, В.Н.Монахова Ц1] • Началом математического изучения течений теплопроводного вязкого газа следует считать работу Дж.Серрина [2] ,в которой сформулированы основные постановки краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. В 1962 году Дж.Нэшем [3] была получена первая теорема существования. Им была показана локальная по времени разрешимость задачи Коши для гладких начальных данных. Повторение и дальнейшее развитие этот результат нашел в работах Н.Итая [4] и А.И.Вольперта, С.И.Худяева [5] ,где применялись несколько

иные методы. Первые теоремы разрешимости в целом по времени получены Я.И.Канелем [6] »который рассмотрел задачу Коши для модели баротропного движения вязкого газа с плоскими волнами.
Для смешанных начально-краевых задач теоремы существования и единственности в малом по времени доказаны В.А.Солонниковым [7] в случае баротропного движения и А.Тани [8] в случае теплопроводного вязкого газа. Существование решения задачи Коши и смешанной задачи в целом по времени изучалось А.Матсумурой и Т.Нишидой [9] , [ю] . Ими показана глобальная разрешимость общей системы уравнений вязкого теплопроводного газа,если только начальные данные близки к состоянию покоя.
В настоящее время нелокальная теория (без условий малости интервала существования решения или норм начальных данных) построена для модели'вязкого газа только в случае одномерного движения с плоскими волнами. В работах Н.Итая [п] и А.Тани [12] рассмотрены задачи Коши и первая начально-краевая задача для обобщенных уравнений Бюргерса - модели изобарического движения вязкого газа. Дальнейшие результаты по задаче Коши для течения, теплопроводного вязкого газа доказаны Я.И.Канелем [13]
Существенное развитие нелокальная теория получила в работах А.В.Кажихова. Метод,разработанный в [14] для системы баротропного вязкого газа позволил:' ему и другим авторам исследовать значительное число задач,в том числе и для общей модели с учетом теплопроводности. Для полной системы уравнений А.В.Кажиховым сначала установлена корректность задачи о разлете конечной массы газа в вакууме [15] сказавшейся в математическом смысле более простой. В дальнейшем им рассмотрены задачи для движения теплопроводного газа в фиксированной области при однородных[1б] а затем и при неоднородных [17] условиях на боковых границах. Здесь же указано повышение гладкости сильного решения при глад-

WOf ІЛлг + J J ~ с1 . (II)
C--UT 0 7 0 0 Ґ
Оценки сверху и снизу на будем получать »преобразовав
второе уравнение системы (I) с помощью первого. При этом обозначим
4ІҐ Ы - J* рр ds.

Заметим,что производная v)'(V') по т может быть записана
Ш- №$ It
'Н = ir тД
Таким образом,второе уравнение системы (I) перепишется в виде
^ ^ уг,
u-t ICjht ^ п>су >
что после интегрирования от о до t дает

Л1-ио -r^Lrtfr)-rtC'T',)- . (I2)
В силу леммы существует точка %&г) такая,что &)Л)~ 1.
В этой точке ЬҐ ( (4-),ir)J -О . Проинтегрируем (12) от £(i)
до произвольной точки о^€- (о, /) :
I (u-UoJtlfy -rt№ii,-b)) - rt(Dl [з-(+))■-
№ 7 (ІЗ)
-t t
j р (tr(q1'C))Jbtr +
Используя строгую положительность и ограниченность 0Го (fy)f :тв
свойства функции j4(v) и (II) выводим
| і (>- + ^['КШ - иГ[Г6(4Ct))) U . (14)
ЗК±) '
Тогда из (13) с учетом (9) и (14) следует неравенство