Спектральные свойства оператора линеаризованных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости

• Автор: Прибыль, Марина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Исследование структуры спектра
1.1 Постановка задачи
1.2 Эллиптичность системы
1.3 Случай постоянных коэффициентов
1.3.1 Вспомогательные леммы
1.4 Случай переменных коэффициентов
1.5 Построение правого параметрикса
1.5.1 Свойства операторов ТСДж, 72, Л) и Т7)£(ж, 72, Л)
1.6 Доказательство существования решения
уравнения (Л(т,72) — ХЕ)и{х) = Н(х)
1.7 Доказательство единственности решения
уравнения (А(х, 72) — ХЕ)17(х) = Ь(х)
1.8 Дискретность спектра оператора А(х, 72) в области (С5х)[а, £>]
2 Оценка резольвенты
2.1 Случай постоянных коэффициентов
2.2 Случай переменных коэффициентов
2.2.1 Доказательство оценки резольвенты
3 Структура спектра оператора линеаризованных модельных стационарных уравнений вязкой сжимаемой жидкости с членами низшего порядка
Литература

Введение
Актуальность темы. Изучению математических вопросов, касающихся уравнений вязкой сжимаемой жидкости, посвящено много работ как российских, так и зарубежных авторов. Одной из первых в этой области была работа Я.И. Канеля [8], в которой исследовалась задача Коши для одномерного нестационарного движения вязкого сжимаемого газа в переменных Лагранжа:
где и - скорость, v - удельный объем, р = p(v) - давление, ц = const > 0 -вязкость среды, t - время. В указанной работе доказаны корректность задачи "в целом" по времени и сходимость решения при t —» сю к стационарному решению.
В дальнейшем появлялись работы, в которых рассматривается более общая постановка задачи для одномерного движения. А именно, предполагается, что газ теплопроводен, т.е. удовлетворяет следующей системе уравнений:
дt дх дх vdx
dv ди
dt дх
ди да
dt дх

dv ди dt дх

с граничными условиями:
q(t, 0) = q{t, 1) = 0, a{t, 0) = a{t, 1) = 0,

либо уравнения (1)-(3) рассматриваются на всей прямой. Здесь е = e(v, в) -внутренняя энергия, а — —p(v, 9)+p(v)ux- тензор напряжения, q = q(v, в, 9Х) - тепловой поток, 0 - абсолютная температура, р - давление, p(v) - вязкость.
A.B. Кажихов [4] - [7], [23], S. Kawashima и T. Nishida [42], C.М. Dafermos [24], [25], T. Nagasawa [50], а также D.A. Iskenderova и Sh.S. Smagulov [37] доказали глобальное существование сильных решений задачи (1)-(3) с начальными условиями при различных предположениях на функции е, a, q в случае идеального газа. Соответствующие результаты для реальных газов были получены S. Jiang [39], В. Kawohl [43], R.H. Pan [53], Y.M. Qin [56] и A.A.Amosov [22].
Изучению поведения решения при t —» оо системы (1)—(3) также посвящено много работ. С.Н. Антонцев [23], E. Feireisl [30], S. Jiang [38] исследовали поведение при больших временах сильного решения задачи Коши и начальнокраевой задачи для системы (1)-(3) с граничными условиями (4). В случае граничных условий
q(t, 0) = q(t, 1) = 0, a(t, 0) = a(t, 1) = —R(t) < 0,
где R(t) - заданная функция, поведение решения при больших временах изучал Т. Nagasawa [49], L. Hsiao и Т. Luo [36], В. Ducomet [26], [28].
Глобальное существование слабого решения и его поведение при больших временах исследовались также для многомерных уравнений вязкой сжимаемой жидкости. Однако, вопросы существования глобального сильного решения в случае теплопроводного газа и единственность слабого решения при больших начальных данных остаются открытыми.
В случае достаточно малых начальных данных существование глобального сильного и слабого решений и сходимость к соответствующему стационарному решению при t —> оо доказаны, например, в [35], [48], [57]. В случае больших начальных данных ситуация значительно сложнее. Тем не менее P.-L. Lions [46] установил глобальное существование слабого решения для системы уравнений, описывающих движение адиабатической жидкости:
dtp + div(pn) = 0,
dt (pu) + div(pu и) + a v (p7) — Р-£ш + (С + p) V divn,

1.3.1. Вспомогательные леммы
Докажем некоторые вспомогательные леммы, которые необходимы для доказательства оценки резольвенты операторов А(В) и А(х, £>). Пусть ДА, М') -расстояние от точки А € £а до множества М а 1(Х, С Б) - расстояние от Л е Ба до С
Лемма 1.3.6. Пусть X € Ба. Существует с > 0 такое, что 1(Х,М') > с|Л - С0, где Со - вершина сектора Ба.
Доказательство. Если ближайшая точка от X Е Ба до множества М' есть точка Со, то ДА, М') > |Л — Со|. Если ближайшая точка от Л £ 5а до множества М' не совпадает с точкой Со, то ДА, М') > 1(Х, С 3) > Х — Со| это;, где а - угол, на который сектор Б больше сектора Ба. □
Лемма 1.3.7. Пусть X Е Ба. Существует е > 0, не зависящее от X и такое, что |А-А1(£)|>е|А1(0ие2<<,<г = 2,3.
Доказательство. Заметим, АД£), определенное в (1.3.6), принадлежит К_. Пусть А Е Ба и ЛеА > 0. Тогда '
|А - АД012 = | ИеА - АД012 + 11т А|2 > | Ле А - АД£)|2 > |А1(е)|2-Если ЛеА < О, то
|А - АДОГ = | Ле А — АД£)|2 + 11т А|2 >

{ п.
ГДС 7Г
| ЛеА - АД£)|2 > ||АД£)|2, то
|ЛеА-АД£)|2+||ЛеА| + С0|2 а + аг > |АД£)|2 Если | ЛеА - АД£)|2 < ||АДО|2, то
|2 , II XI , плчл ( .
> |ЛеА-АД01 + 11 Ле А| + Со| tg ск + аг — ,
агС + ск - угол сектора Ба, определенного в (1.3.41)
ЛеА — АД£)| + || Ле А| + С0|+ агС — ) >