Некоторые вопросы разложения функций в ряды Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

• Автор: Абилова, Фарида Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 101 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
§1. Разложения по собственным функциям краевой задачи
для дифференциального уравнения Бесселя
§2. Разложения по собственным функциям краевой задачи штурм-лиувиллевского типа (ряды Фурье по классическим ортогональным многочленам)
§3. Разложения по тригонометрической системе функций (ряды Фурье 27Г-периодических функций и
преобразования Фурье)
§4. Разложения по собственным функциям краевой задачи для дифференциального уравнения Чебышева. ... 73 § 5. Разложения по собственным функциям краевой задачи
для дифференциального уравнения Эрмита
Литература

Введение

Известно, что специальные функции математической физики —
классические ортогональные многочлены (многочлены Лагерра, Эр-мита, Якоби), цилиндрические, сферические и гипергеометрические функции — обычно возникают при решении уравнений математической физики методом разделения переменных, который основан на теоремах разложения по различным ортогональным системам функций. Проанализировав эти системы, можно убедиться, что среди них практически не встречаются ортогональные разложения, не являющиеся разложениями по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
или не представляющие собой аналоги таких разложений, т. е. когда приходится иметь дело с обобщениями задачи Штурма-Лиувилля на случай, когда интервал (а, 6) бесконечен, функция к(х) обращается в нуль на одном или обоих концах интервала (а, Ь) и т. д., то есть когда граничные условия имеют ’’неклассический” вид.
В задачах математической физики метод разделения переменных, как правило, приводит нас к задаче Штурма-Лиувилля с некоторыми ’’неклассическими” граничными условиями.
Так, например, задача о собственных колебаниях круглой мембраны, радиуса единица, приводит нас к уравнению Бесселя

к(х) = X, q(x) = р{х) - X, (а, Ъ) = (0,1)^ ,
функции Бесселя определяются как решения краевой задачи на собственные значения этого уравнения при граничных условиях
|n(0)| < +00, u(l) = 0;
задача о гармоническом осцилляторе в квантовой механике приводит нас к уравнению
(к{х) = е х2,д(ж) = 0,р(х) = е х2, (а, Ь) = (—оо,+оо)) ,
многочлены Эрмита определяются как решения краевой задачи на собственные значения этого уравнения при граничных условиях
и{х) = 0(хп) (х -» ±оо)
и т. д.
Так как метод разделения переменных, как отмечено выше, приводит нас к разложениям функций в ряды по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, то мы естественно приходим к рядам Фурье по функциям Бесселя, по классическим ортогональным многочленам и по тригонометрической системе функций.
Известно, что система функций Бесселя, системы классических ортогональных многочленов и тригонометрическая система функций обладают свойством полноты.
Вопросами разложения функций в ряды Фурье по указанным здесь системам занимались многие математики. Им посвящены фундаментальные монографии Н.К. Бари, А. Зигмунда, Г. Сеге, Г.Н. Ватсона, Б.М. Левитана и И.С. Саргсяна, а также ряд обзорных статей известных математиков П.Л. Ульянова, Б.И. Голубова, Л.В. Жижиашвили, В.А. Ильина-Е.М. Никишина-Ш.А. Алимова. История развития этих исследований в последние годы изложена в обзоре В.М. Тихомирова ([24], стр. 103-270).

— ряд Фурье функции / £ Ьг((а, Ь)-,р(х)) по этой системе,
Sn(/]x)= сп(/)Р„(ж)
0^n - частичные суммы ряда (3). Хорошо известно, что
II/II =

Ё <«(/),

Ё <*(/)•

\f-SN(f)W =
Рассмотрим теперь функцию

T{x,y,h) = Y2P^x)Pniy)hn,

где h £ (0,1), (ж, у) £ (а, b) х (а, Ь), причем равенство здесь понимается в смысле сходимости в пространстве 1-2((а, Ь) х (а, Ь)р{х)р{у)) (смысл последнего обозначения очевиден).
В ряде частных случаев для T(x,y;h) можно указать и явное
выражение. Например, ([11], стр. 272),

1) если (a, b) = R, р(х) = е~х , то
(—1)п
Рп{х) — Нп(х) = —^====ех
2 d е х* (п = 0,1,...)
y/nl2ny/ir dxn — ортонормированная система многочленов Эрмита и тогда

T(x,y;h) = J2Hn(x)Hn(y)hn =

-у/тг(1 - /l2)

2 xyh — (ж2 + y2)/i