Исследование устойчивости сильной ударной волны при сверхзвуковом обтекании бесконечного плоского клина

• Автор: Пашинин, Юрий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 88 с.

Известно (см., например. [1]), что при стационарном сверхзвуковом обтекании бесконечного клина (рис. 1) возможны два решения этой газодинамической задачи: решение со слабой ударной волной (течение газа после ударной ВОЛНЫ, вообще говоря, сверхзвуковое, ТО есть «0 + ^0 > Со), и решение с сильной ударной волной (течение газа после ударной волны дозвуковое, то есть «о + То < Со). Здесь щ, ио - компоненты вектора скорости газа, со - скорость звука. Кроме того, в набегающем потоке II^ > Соо, где с00 - скорость звука. Однозначный ответ на вопрос о том, какое из двух решений реализуется па самом деле, не получен и до настоящего времени, несмотря на большое количество работ, посвященных этой проблеме. Один из возможных путей решения данного вопроса обсуждается в [1] и заключается в исследовании устойчивости по отношению к малым возмущениям этих стационарных режимов течения газа, то есть в изучении асимптотики решения линейной смешанной задачи (см. задачу (1.1)—(1.4) в главе 1) при £ -» оо.
В случае, когда малые возмущения зависят (кроме времени £) только от одной переменной, в ряде работ (см., например, [2, 3]) было строго показано, что режим течения газа со слабой ударной волной устойчив по отношению к малым возмущениям, а режим течения газа с сильной ударной волной неустойчив.
В общем случае в [4] показано, что основное решение, соответствующее

сверхзвуковому обтеканию клина со слабой ударной волной, при условии, что течение газа после ударной волны сверхзвуковое, а также
Мх(9) >

а < 9 < О,
устойчиво по отношению к малым возмущениям. Здесь
л,/а Щьв + Щътв
Мг{У)

В то же время в [5] установлено, что линейная смешанная задача (см. задачу (1.1)—(1.4) в §1 ) корректна при
2 , 2.2 и0 + ^0 < с0
для случая малых углов клина а (см. рис. 1). Однако устойчивость таких режимов обтекания в [5] не была доказана.

Надо также отмстить, что в ряде работ (см., например, [6, 7]) устанавливается факт отсутствия стационарного режима с сильной ударной волной для заостренных тел конечной толщины с помощью рассуждений, проведенных па качественном уровне. Правдоподобные соображения приводятся и в [8, 9].
Настоящая работа посвящена исследованию в общем случае устойчивости режима течения газа с сильной ударной волной. При этом проводятся дополнительные исследования, посвященные установлению корректности в общем случае задачи (1.1)—(1.4).
В первой главе приводится математическая формулировка линеаризованной задачи на малые возмущения начальных данных исходной газодинамической задачи. Проблема сводится к смешанной задаче для волнового уравнения в октанте. Формулируется соответствующая обобщенная задача, описывается класс функций, в котором ищется решение.
Во второй главе после преобразования Лапласа по £ и Фурье по х,у формулируются краевые задачи для следов решения и(х, 0, £), и(0, у, £). Отдельно рассмотрены условия на газодинамические параметры исходной задачи, возникающие при постановке краевых задач для следов. Подходящие области значений параметров точно описаны.
В третьей главе решается краевая задача для функции и(0,у, £). Условия на гладкость решения позволяют определить значения в угле и(0,0,£),их(0,0, £), иу(0,0,£). Найдены представления граничных функций ц(ж,0,£),н(0, у,£) и решения и(х,у,Ь) в двойственных переменных.
В четвертой главе находится представление функции и[х, 0, £) в явном виде, что позволяет определить асимптотику ее поведения при £ —>■ оо. Это позволяет рассматривая отдельно случай финитных и не финитных начальных данных сформулировать и обосновать основные результаты работы об устойчивости и неустойчивости сильной ударной волны в задаче обтекания
Здесь
+00
, , г2 + 1 [ 1пС(С2,*)С ,л
1пХ(*,в) 2?г. j ^2 + щ2_г2^(,

Х+(ц,, э) = ИтХ(//,$), 1т г > 0, ц <Е Я.
2-»/4
При этом должно быть выполнено условие
(3.34)

ДС2Ж,,_ п V
Х+сР) с “ °- (3'35)
Функцию У(г, в), ге С, /тог > 0, учитывая, что (2 — г2 — (( + г)(( — г) возможно таким образом выписать в явном виде
9{г’! = “ ЩЬД.) г-5> + -2’ “)) • Р-36>
Тогда, из соотношения (2.16) мы определяем функцию Z(^s), (£Й: 9/е д _ I+ ^(£>(<Ы£))» -*?♦(£)>5)
2я(£*(М0),^*(0> «)(*(! +/?2Ы£)-*££) ,33?,
Наконец, окончательно, получаем представление решения в двойственных переменных
-/е Н£>У,в) г(1 + /32)?7 — г^/3 Р(£,ъ(§,8)
Щ,У,8)

Р&Ъ«) г(1 + /32)ц*(£) - «'£/? р(^,»7,8)
Ж. »?*(€)> в) (^(&ОЫО)> *?*(£)> в) + ^(£*(<М0)> -^(0
2^(С*(^*(0). *?*(€)> 5М£> 7?>в)