Исследование устойчивости решений уравнения Хилла

• Автор: Тарамова, Хеди Сумановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 91 с. : ил.

Глава 1. Определения и теоремы теории устойчивости

решений уравнения Хилла

История вопроса

Основные теоремы

Актуальность исследования

Основной результат диссертации

Соотношение с другими результатами

Глава 2. Исследование устойчивости решений уравнения Хилла

с помощью принципа биоптимальности

Постановка задачи

Характеристические функции

Особые оптимальные управления
Вид оптимального управления
Нахождение константы Ляпунова
Критерий устойчивости и неустойчивости
Глава 3. Исследование устойчивости решений уравнения Хилла
с помощью оценки константы Ляпунова
Постановка проблемы
Нахождение вспомогательной функции S{n)
Сравнение функций S(n) и 9х{п)
Нахождение вспомогательной функции S*(n)
Сравнение функций 5*(п) и $,(«)
Критерий устойчивости и неустойчивости
Заключение
Обозначения
Библиографический список использованной литературы
Глава 1. Определения и теоремы устойчивости решений уравнения Хилла
История вопроса. В работе рассматривается устойчивость линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами.
Впервые необходимость исследования ограниченности решений таких уравнений возникла в связи со следующими обстоятельствами. В конце XIX века руководство Российской железнодорожной компании было весьма обеспокоено тем, что при определенном режиме движения состава на некоторых сложных участках дороги (крутых или затяжных подъемах) начинается разрушение кривошипов и спарников, с помощью которых ведущее колесо паровоза соединено с другими колесами. Попечители Российской железной дороги в 1890 г. обратились к известному русскому ученому Н.Е. Жуковскому с просьбой выяснить причину этого явления и дать некоторые рекомендации, обеспечивающие безопасный режим движения. Исследуя эту проблему,
Н.Е. Жуковский установил, что причина разрушения кривошипов и спарников — параметрический резонанс упругих колебаний, возникающий из-за недостаточной жесткости материалов, из которых они сделаны.
При математическом описании этих колебаний было установлено, что если обозначить величину упругих колебаний через у, то достаточно точно они описываются линейным дифференциальным уравнением второго порядка
с12у а-ЬсоэоД п
—£• + — —У = Р, (1.1)
аг с-асоъса
где а,Ь,с,с1- постоянные величины, зависящие от радиуса колеса локомотива, длины спарника, площади его поперечного сечения и модуля упругости материала, из которого сделаны колеса и спарник, а параметры а и /? зависят от вращающего момента, приложенного к колесу, от скорости движения состава и

момента инерции колеса.
Уравнение (1.1) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическим коэффициентом. Ограниченность его решений, как известно, зависит от ограниченности решений соответствующего однородного уравнения. Параметрическому резонансу упругих колебаний соответствует неограниченность решений уравнения (1.1).
В данной работе рассматривается более общее линейное однородное уравнение с непрерывным периодическим коэффициентом f(t) :
У + ХГ(0 = 0, f(t + T) = f(t) f(t) е С(-оо;+оо), (1.2)
называемое уравнением Хилла.
В 1890 г. Н.Е. Жуковский установил, что если в уравнении Хилла (1.2) функция f (t) такова, что для некоторого ne Zt выполняются неравенства
— то решения уравнения (1.2) ограничены.
А.М. Ляпуновым с использованием различных характеристик функции fit) установлено более десяти различных достаточных условий ограниченности и неограниченности решений уравнения Хилла.
Ограниченность решений линейного однородного уравнения, как известно, эквивалентна устойчивости этих решений.
Необходимость исследования устойчивости решений уравнения Хилла, возникает во многих математических и технических задачах. К уравнению Хилла заменой
Z = е 0 у
приводится линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами
z + a(t)z + b{i)z = 0, где a(t) е ci (-СО,-ню), b(t) е С(-оо,-кю) и a(t + Т) = a(t), b{t +Т) = b(t).

„ Т,Н(Ц+Т2) „ (<+1ХЧ+Г2)
е,=-|2<7--02| -|1(г-ч2| А
2 1=0 ,(Г1+Г2) ^ 1=0 7|+<(Г1+72) А
Подставляя предельные значения, запишем
^ = -^Т1-Т12 +Ш1+Т2)2 + (7+Г2)2-2Т11(Т1 +Г2)]-I ,
-^Х[-27Т< +712 + 27Ж. + Г2)]+^
^ 1=0
Суммируя, выводим
0, = -1 [- 2ТТП + т2п + г, (Г, + т2 ){п2 - „)]-
-Ь, + Т2 )2 л2 + Г2Г,н - ТТ2 - Г,(Г, + Г2 )«2 ]+^.
Приведя подобные слагаемые, получим
0, = Дат; + ЬТ2)п+^~ Д(Д + Т2)(п2 -п)-^(Т1+ Т2)2п2 + Ъ-~ Т2п+Щ
Согласно формулам (2.27), имеем
(Г, + Т2)-п = Г-Т0, (аГ, + ЬГ2)-п = 0га/ои7;= _ Л.
и^. о - а у
Таким образом, из условий (2.26) и (2.27) имеем следующую систему
п(Ту +7'2) + /0 -Т а/0 + (аГ, + ЬТ2)п = #0
аГ'г + 2°р + 6 Д + <га± *аа11 Мгд]) и- (аг; +ьтг)„,а-9,
(2.28)
Выражая из первого уравнения системы (2.28) /0, и вычитая из второго уравнения первое уравнение, умноженное на а, получим следующую эквивалентную систему