Краевые задачи для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений на плоскости

• Автор: Саушкин, Иван Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 137 с. : ил.

1. Краевые задачи для модельных нелокальных дифференциальных уравнений

1.1. Понятие инволютивного отклонения и некоторые его свойства

1.2. О корректности задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией

1.3. Задача Коши для возмущенного телеграфного уравнения

1.4. Нелокальные характеристические задачи Сц и С?2 для возмущенного телеграфного уравнения
2. Краевые и начально-краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений второго порядка

2.1. Задача Коши

2.2. Квазихарактеристическая задача Гурса

2.3. Квазихарактеристические задачи Дарбу

2.4. Квазихарактеристические задачи Коши-Гурса

2.5. Задачи Дирихле

3. Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений с оператором Лаврентьева-Бицадзе

3.1. Краевая задача для нелокального уравнения, порожденного оператором типа Лаврентьева-Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения типа
3.2. Аналог задачи Трикоми для нелокального уравнения, порожденного оператором типа Лаврентьева-Бицадзе с двумя параллельными линиями вырождения типа
3.3. Аналог задачи Трикоми для нелокального уравнения, порожденного оператором Лаврентьева-Бицадзе
Список литературы

Актуальность темы. Понятие нелокального оператора и связанное с ним понятие нелокального дифференциального уравнения появилось в математике сравнительно недавно. В соответствии с определением, приведенным А.М. Нахушевым в его монографии [97], к числу нелокальных дифференциальных уравнений относятся: нагруженные уравнения [97, 98], уравнения, содержащие дробные производные искомой функции [97, 98, 170, 171], уравнения с отклоняющимися аргументами, иными словами такие уравнения, в которых неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при различных значениях аргументов.
В 50-60 годы XX века в связи с возросшим интересом к задачам теории управления стала интенсивно развиваться теория обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим или опережающим аргументом. В этот период вышли хорошо известные монографии отечественных авторов А.Д. Мышкиса [89], С.Б. Норкина [103], Н.М. Красовского [76], Л.Э. Эльсголь-ца [154] и иностранных ученых Р. Веллмана и К. Кука [24], Э. Пинии [108], А. Халаная [161].
Среди дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами особое место занимают уравнения, в которых отклонение аргументов носит знакопеременный характер. К числу таких отклонений относится так называемое отклонение инволютивного типа. Отображение a{t), которое является изменяющим ориентацию гомеоморфизмом простой пепересекающейся замкнутой или разомкнутой кривой в комплексной плоскости, принято на-

h = / (u2Ry-Ru2y) dy = u2(0,xo + £)R(0,xo +£;х0,у0)~
J 1
xo+e
2/o
-U2(0,yo)R(0,yo]xo,yo) + 2 J u2(0, y)Ry(Q, y; x0, j/o) Ф
lo+e
Подставляя значения интегралов Д., к = 1,... 7 в равенство (1.53), при дополнительном условии существования конечного предела
lim [и2х(х, у) - и2у(х, у)] , (1.54)

перейдем в полученном равенстве к пределу при £ —» 0. Тогда, с учетом свойств 2° — 4° функции А(х, у; гг0, г/о) и условий (1.47) - (1.50), (1.54), получим:

Ыж0, Уо) = - ^(жо) - J ф{у)Ау(0, у, То, Уо) dy. (1.55)

Отметим, что в силу условий теоремы 1.4 и требования (1.54), R £ С'1(ДП П{у ^ То}) и Re C1(D П {у ^ То}) предельный переход в равенстве (1.53) при е —* 0 законен, и все интегралы формулы (1.55) равномерно сходятся в D. Теперь, подставляя в (1.55) вместо функции Л(т,у;то,уо) ес аналитическое выражение через функцию (1.51), получим формулу (1.52).
Итак, если существует решение задачи (1.47) - (1.50), удовлетворяющее условию (1.54), то оно представимо формулой (1.52). Далее, путем непосредственной проверки, можно показать, что функция и2(хо,уо), определяемая формулой (1.52), действительно удовлетворяет условиям (1.47) - (1.50) и (1.54). В самом деле, на основании свойства 1° функции Римана-Адамара, функция и2{хо,уо) в области D является решением уравнения R2u2 — 0. Из формулы (1.52) очевидным образом вытекает справедливость краевых условий (1.47) и (1.48):
lim и2(х0,у0) = 0, lim и2(х0,у0) = Ф(уо)-
УО~*Хо го-»0