Задача Дирихле для эллиптической системы четного числа уравнений с частными производными второго порядка

• Автор: Артемьева, Светлана Вадимовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 87 с.

Оглавление
Введение
1 Первая краевая задача для системы четырех уравнений второго порядка
1.1 Задача Дирихле в полупространстве у 2 > 0

1.2 Задача Дирихле в полупространствеЕ :{ £ (а+у,) > 0}

1.3 Задача Дирихле в произвольной области
2 Симметрично эллиптическая система класса Р
2.1 Задача Дирихле в шаре
2.2 Первая краевая задача в полупространстве
3 Задача Дирихле для эллиптической системы четного числа уравнений второго порядка
3.1 Задача Дирихле в полупространстве
3.2 Задача Дирихле в произвольной области
Список литературы

Введение
Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений. Одной из основных граничных задач является задача Дирихле, к которой приводится задача о поле зарядов, распределенных на некоторой поверхности [1].
В области Л тг— мерного евклидова пространства рассмотрим дифференциальное уравнение
I, +йЬАХ)Ш+с(А>=я(х)' (0-1)
где а(X)— непрерывные, а ЪХ), с(Х) и д(Х)— ограниченные функции в замкнутой области Л, X = (ац
Задача Дирихле ставится следующим образом: найти регулярную в области Л (имеющую непрерывные производные до второго порядка в Л и удовлетворяющую уравнению (0.1) во всех точках Л), непрерывную в замкнутой области ЛЦ)Г функцию и, принимающую заданное непрерывное значение на границе Г : гг = /(X). Для уравнения с достаточно гладкими коэффициентами в области Л с достаточно гладкой границей Г эта задача всегда фредгольмова, то есть [2]

(а) однородная задача Дирихле (/(X) = 0) имеет не более чем конечное число линейно независимых решений;
(б) если однородная задача не имеет нетривиального решения, то соответствующая неоднородная задача Дирихле всегда имеет, и притом единственное, решение;
(в) если число линейно независимых решений однородной задачи равно к, то для разрешимости соответствующей неоднородной задачи Дирихле необходимо и достаточно, чтобы функция f(X) из краевого условия удовлетворяла к условиям ортогональности
И задача называется нетеровой, если однородная задача имеет конечное число к линейно независимых решений, а для разрешимости неоднородной задачи Дирихле необходимо и достаточно выполнения конечного числа I ф к условий ортогональности. Фредгольмова задача является нетеровой. При с(Х) < 0 задача Дирихле для уравнения (0.1) имеет единственное решение [3]. Для систем уравнений второго порядка ситуация гораздо сложнее.
И.Г. Петровский [4] выделил широкий класс систем уравнений в частных производных, которые теперь называются эллиптическими по Петровскому.
Определение Система уравнений в частных производных называется эллиптической по Петровскому, если определитель ее характеристической формы является положительно либо отрицательно определенной формой.
Многие свойства эллиптических уравнений обобщаются на эллиптические системы уравнений в частных производных [3] - [5]. Однако

М гю,4- д. р“ /РзпгЧйГ!, сю > 1,
/Э2(1 - СУ ’) + 1С04 + р = ;
р + у/(С( 4)-1)П2-ш1 с< 1.
Введем обозначения
Р1 = «26. + «1& - (кт, Р2 = «16 - «26 +
31 — АА + АА + «23Ъ 32 = “АА + АА + «Ш-
В этих обозначениях получим
Ох = (А1 — 1 ){р + д) + (Л2 — 1){р + 32 )>
П2 = (Л2 - !)(?? +д?) + (/<2- 1)(р1 + «а)-
(1.17)
(1.18)
Рассмотрим 01, СГ2, 3, 4-
ид = + в[Т)1, т.к. А2 — 0, то ничего не изменится, если мы при-
бавим слагаемое А2£2
Ш1 = А1 + Вг]1--А2 — А (А“ А)(А«2_ «1А) -(А1-А2)?У1 (АА + «1«г) +
+АА(А«1 — «1А) — А22(/?2«2 — «гА) = А1 [А(«26 + «1& ~ А?/1) + +а1 (—АА — А £2 — озд)] + А [А(—«1А + «гА — А771)+
+ «2 (А А - АА — СК1Т71)],
следовательно,
1 = А(АР1 - «1З1) + А2(АР2 + «2З2) = (1-19)
= (Ах - 1)(АР1 - «11) + (А ~ 1)(АР2 + «232),