Свойства решений обобщенных уравнений Курамото-Сивашинского

• Автор: Архипов, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 63 с. : ил.

Оглавление
Введение
Основные результаты
к - сжимающие системы
Обобщенные диссипативные системы и их аттракторы
Глава 1: Оценка хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов
обобщенного одномерного уравнения Курамото-Сивашинского
1.1 Формулировки и определения
1.2 Основные результаты
1.3 Определение конусов накачки и диссипации
1.4 Глобальное поведение решений
1.5 Формулировки основных лемм
1.6 Свойства уравнения Гамильтона-Якоби
1.7 Рост соболевских норм при приближению к моменту коллапса
(доказательство)
1.8 Замена масштаба и галеркинские приближения
1.9 Определение трубки траекторий и лемма о возмущении
1.10 Выбор трубки траекторий для возмущенного уравнения
1.11 Выход траекторий на сферу
1.12 Лемма о потере энергии
1.13 Вычисление размерностей аттракторов уравнения Курамото
Сивашинского
Глава 2: Теорема о перекачке энергии в уравнении Курамото-Сивашинского
на многомерном торе с римаиовой метрикой
2.1 Введение
2.2 Уравнение Курамото-Сивашинского на многомерном торе с
римановой метрикой
2.3 Нормы и определения
2.4 Теорема о перекачке энергии
2.5 Лемма о выходе
2.6 Уравнение Курамото-Сивашинского как малое возмущение уравнения Г амильтона-Якоби
2.7 Свойства решений уравнения Гамильтона-Якоби
2.8 Доказательство леммы о выходе

2.9 Проверка условий леммы о возмущении
2.10 Априорная оценка
Список литературы

Введение
Задачи о вычислении хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов занимают важное место при изучении уравнений в частных производных. Особую важность имеет при этом энтропийная размерность, поскольку для нее выполняется легкая теорема Уитни о взаимно-однозначном проектировании и, кроме того, при численном счете обычно вычисляется именно эта размерность.
Уравнение, которое будет рассматриваться ниже, впервые возникло в работе Сивашинского [1], посвященной волновым потокам жидкости, текущей по вертикальной плоскости, а также в работе Курамото [2], где изучался диффузионный хаос в системах реакции. Откуда и происходит название уравнение Курамото—Сивашинского. В дальнейшем, данное уравнение было интенсивно изучено, как численно, так и аналитически. В частности, было доказано существование аттрактора и оценена его размерность. Для этой цели применялись различные методы и подходы (см. работы [3], [8],
[10], [И], [16], [17], [18], [19], [20]). '
Подход, который был предложен Ю. С. Ильяшенко в работе [3] использовал методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае уравнение Курамото- Сивашинского рассматривается как динамическая система в бесконечномерном фазовом пространстве. Уравнение Курамото-Сивашинского задает векторное поле в бесконечномерном пространстве, а его траектории будут решениями уравнения. Одной из характеристик уравнения Курамото-Сивашинского является размерность его аттрактора. Впервые хаусдорфову размерность для изучения динамических систем применил Ж. Мале-Паре в 1976 году в [4]. Понятие к- сжимающей системы впервые возникло в работе Ю.С.Ильяшенко [5] в 1982 году при вычислении размерности аттракторов системы Навье-Стокса, при этом, кроме хаусдорфовой размерности рассматривалась также энтропийная размерность. Результаты, касающиеся к-сжимающих систем позже были применены при оценке аттракторов уравнения Курамото-Сивашинского в работе [3].
Кроме того, с помощью подхода использованного Ю. С. Ильяшенко, при исследовании решений уравнения Курамото-Сивашинского был обнаружен так называемый эффект ’’перекачки энергии” от низких гармоник к высоким. Энергией в данном случае является квадрат любой соболевской нормы достаточно высокого порядка.

1.11. ВЫХОД ТРАЕКТОРИЙ НА СФЕРУ
Таким образом, все условия леммы о возмущении выполнены. Соответствующая трубка траекторий выбрана. Докажем теперь выход на сферу П5+1 р.
Доказательство проведем от противного. Возможны два случая, при которых дуга целиком содержится в шаре С} : < р:
1) Дуга целиком принадлежит трубке
2) Дуга выходит на стенку трубки
Рассмотрим каждый случай по отдельности:
1) Условия леммы о возмущении выполнены. Если е достаточно мало, то по второму утверждению леммы о возмущении конец т/) дуги Г лежит на 2 -перегородке трубки 12 при 2 6 (Г — 8, Т), на которой п5+1 > р. Это доказывает лемму о выходе в случае 1).
2) Пусть <р! -точка пересечения стенки трубки и дуги Г (точка выхода за пределы трубки, см. Рис. 2). Пусть £ = (р — 'Фг — тг-ифь
Тогда:
A) ||£||1-в < 2аЕГ = /(р) из леммы о возмущении.
Б) ||£||с2 = сг но определению трубки траекторий
B) ||£||,+1 < Ре+1 и 1,65 в силу оценки старших норм сверху (параграф 1.6, свойство В уравнения (-НУ) ) Действительно,
№±|2в
||<г„Ы1.+. < рагщрЫЙ: < р'+Ь-1'»-
Докажем последнее неравенство. В параграфе 1.6, пункт А дана нижняя оценка для момента коллапса в прошлом для решений уравнения (И./), с начальным условием на дне трубки траекторий. А именно, существует такая константа (3, что для всех тр 6 В выполняется следующее неравенство: /Зи-1,6 < Тф. Кроме того, в том же пункте дана оценка момента коллапса сверху: Тф | < пг2. Поэтому вьшолняется следующая оценка