Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации

• Автор: Мохамед Хаммад Нуман Эльшейх
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 114 с.

Оглавление
Введение

1 Операторы Шредингера на геометрических графах и на

разветвленных многообразиях

1.1 Постановка задачи и обозначения

1.2 Операторы Шредингера на графах с одной вершиной

1.3 Операторы Шредингера на графах с несколькими вершинами

1.3.1 Постановка задачи и обозначения

1.4 Операторы Шредингера на графах с бесконечным множеством ребер

1.5 Оператор Шредингера на разветвленных многообразиях переменной размерности

1.5.1 Постановка задачи и обозначения

1.5.2 Пространства граничных значений на границах гладких компонент разветвленного многообразия .
2 Теорема Чернова и аппроксимации полугрупп

2.1 Теорема Чернова и эквивалентность операторнозначных
функций
2.2 Пример приложения теоремы Чернова к диффузионным
процессам
2.3 Аппроксимирующие оператор-функции
2.4 Граф Г и расширенный граф Г
2.5 Вероятностный подход к определению аппроксимирующей
функции Чернова для уравнения диффузии на графе
3 Формулы Фейнмана для уравнения Шредингера
3.1 Постановка задачи и обозначения
3.2 Случай закона Кйрхгоффа для квантовой динамики
3.3 Свойства оператор-функции И
3.4 Оценка сверху роста нормы
4 Формулы Фейнмана для уравнения диффузии
4.1 Постановка задачи и обозначения
4.2 Случай закона Кйрхгоффа для диффузии
4.3 Свойства оператор-функции Е
4.4 Оценка роста нормы оператор-функции Е
Заключение
Литература

Введение
Проводимое в диссертации исследование направлено на изучение операторов Лапласа и операторов Шредингера на графах с конечным или счетным числом рёбер и на разветвленных многообразиях переменной размерности. Получено описание самосопряженных расширений симметрического оператора Шредингера, изначально заданного на гладких финитных функциях, носители которых не содержит точки вереши-ние графа или разветвленного многообразия.
В диссертации получены формулы Фейнмана для групп Шредингера, порождаемых задаче Коши для уравнения Шредингера, и полугрупп Шредингера, порождаемых задачей Коши для уравнения диффузии. Эти задачи Коши описывают либо квантовую диамику, либо либо диффузию, на подмножество евклидова пространства, представляюшим собою граф или разветвленное многообразие.
Формулами Фейнмана называют (см. [29, 4, 13]) представлением полугруппы Шредингера ехр(ЙЬ), і > 0, или группы Шредингера ехр(—Ши), і Є Я, с помощью пределов конечнократных интегралов по декартовым степеням конфигурационного пространства (при стремлении к бесконечности кратности) классической гамильтоновой системы, при квантовании которой получается оператор Гамильтона Ь.

необходимо и достаточно для включения V Є П(Ь*). Так как Ь = Б* если и только если В(Ъ) = .0(1/), то для самоспряженнсти оператора Ь необходимо и достаточно выпольнения равенства (1.4.13).
1.5 Оператор Шредингера на разветвленных многообразиях переменной размерности
1.5.1 Постановка задачи и обозначения
Изучаются операторы Шредингера на разветвленном многообразии Г, задающие процессы диффузии или квантовой динамики на разветвленном многообразии. Граничные точки будем называть точкой ветвления многообразия, если она является граничной точкой для не менее чем двух различных областей.
Предполагается, что на Г задана Борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждое областей Га совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда 1/2 (Г) = ©1/2 (Га).
Пусть Соо(Г)- векторное пространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими многообразия точки ветвления, и Ь0 = ФЬд - линейный оператор, определяемый на линейном пространстве -О(Бо) = Сд°(Г) с помощью равенства
в котором функции т, В, С - вещественнозначные, ограничению и
(1.5.14)