Ляпуновские величины и предельные циклы двумерных динамических систем

• Автор: Кузнецова, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02, 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 125 с. : ил.

Д

Оглавление
Введение
1 Символьные вычисления ляпуновских величин и малые предельные циклы
1.1 Введение
1.2 Ляпуновские величины
1.3 Классический метод вычисления ляпуновских величин
Пуанкаре-Ляпунова
1.3.1 Вычисление ляпуновских величин в евклидовом пространстве
1.3.2 Вычисление ляпуновских величин в комплексном пространстве
1.4 Метод вычисления лящ^новских величин в евклидовом пространстве и во временной области
1.5 Символьные выражения ляпуновских величин
1.5.1 Ляпуновские величины для общего вида полиномиальных систем
1.5.2 Метод сведения квадратичных систем к системам Льенара
1.5.3 Ляпуновские величины для систем Льенара
1.5.4 Ляпуновские величины для квадратичных систем .

1.6 Ляпуновские величины и малые предельные циклы
2 Исследование больших предельных циклов
2.1 Введение
2.2 Один и два больших предельных цикла квадратичных систем
2.2.1 Метод асимптотического интегрирования траекторий
2.2.2 Критерии существования предельных циклов
2.2.3 Визуализация области параметров, соответствующих существованию одного и двух больших предельных циклов
2.3 Три и четыре больших предельных цикла квадратичных
систем
2.3.1 Численное построение области коэффициентов, соответствующих существованию трех больших предельных циклов квадратичных систем
2.3.2 Визуализация четырех больших предельных циклов квадратичных систем и исследование танца циклов .
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5

Ша.2_|_ (2а,2+аг—Ъ2— /?г)3 (а2+2а,2—&)(2а2+с»2-Ь2—Д) N2 _
2(а2-Ь2+С2) 27(а2-б2+сг)3 6(а2-(>2+С2)
_ ( (2а2+а2—Ь2 — /За)2 _ а2+2о;2—& N1/3 (2а2+а2—62—/32)3 _ саг__
^ 9(а2—&2+с2)2 3(а2—Ь2+сг) > > 27(а2—Ь2+с2)3 2(а2-Ь2+с2) _Г
I (а2 + 2о2— 02)(2а2+О!2— Ь2— 02) N | 6(а2—62+С2)
1.6. Ляпуновские величины и малые предельные циклы
Если 1щ,= 0 и Ьп ф 0, тогда, используя знаменитую технику Баутина /БупсЬ, 2005/, можно в общем случае построить п “малых” предельных циклов с помощью малых возмущений коэффициентов системы /Баутин, 1949, Баутин, 1952/.
Пояснение. Согласно формуле (1.9), ордината решения системы разлагается в ряд
у(Т(К),К) = к + Ьгк3 + 12к5 + ... (1.25)
Предположим, что 1/1 = 0 и первая ненулевая ляпуновская величина Ь2 > 0.
Следуя методу Н.Н. Баутина, мы можем, слабо возмущая коэффициент > 0, добиться, чтобы в возмущенной системе выполнялись неравенства
< 0, Ь2 > 0.
Тогда для достаточно малых начальных данных к = Г(/ траектории возмущенной системы будут закручиваться вокруг стационарной точки, а для некоторых начальных данных к = г о11 (го11 » г о1) траектории системы будут раскручиваться. Таким образом, для описанного возмущения