Исследование анормальных и вырожденных задач оптимального управления и нелинейного анализа

• Автор: Карамзин, Дмитрий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 281 с.

ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена исследованию анормальных и вырожденных задач, возникающих в различных областях оптимизации и нелинейного анализа. Работа состоит из пяти глав, содержание которых соответствует следующим направлениям исследования:
1. Расширение классического вариационного исчисления на задачи с разрывными траекториями. Оптимальное импульсное управление.
2. Оптимальное управление. Принцип максимума Л.С. Понтрягина для задачи с фазовыми ограничениями.
3. Теория вещественных квадратичных отображений. Условия существования регулярных нулей квадратичных отображений.
4. Исследование гладких отображений в окрестности анормальной точки. Теоремы об обратной функции и необходимые условия экстремума второго порядка в анормальных задачах оптимизации.
5. Необходимые условия локального минимума второго порядка в анормальных задачах оптимального управления.
Содержание всех пяти глав тесно связано между собой. Так, например, результаты гл. 3 существенно используются в гл. 4, а гл. 1, 2 и 5 посвящены теории оптимального управления. Результаты гл. 2, 5 могут быть с легкостью перенесены на задачи импульсного управления, исследуемые в гл. 1. В гл. 5 же показывается как результаты гл. 4 могут быть применены к исследованию анормальных (локально неуправляемых) задач оптимального управления (см. [43]).
Работа организована следующим образом. Во введении последовательно разъясняется специфика каждого из направлений, указанных выше. Приводятся краткая история и “философия” этих вопросов. Формулируются некоторые основные результаты. В самих же главах 1-5 приведены все строгие формулировки и доказательства.
0.1 Расширение классического вариационного исчисления на задачи с разрывными траекториями.

Теория оптимального импульсного управления

По всей видимости, Карл Вейерштрасс был одним из первых математиков, кто придал значение тому факту, что не все задачи вариационного исчисления имеют классическое гладкое или хотя бы непрерывное решение. Причем, не имея классических решений, такие задачи могут оставаться вполне физически значимыми. Хорошо известный пример такой ситуации иллюстрируется следующей задачей вариационного исчисления.
Это есть задача о нахождении поверхности вращения, задаваемой контуром х(£), площадь которой была бы наименьшей из всех возможных; а физически - просто мембраны, натянутой на два параллельных диска радиусов Яі и Яг соответственно. Применение условий Эйлера-Лагранжа приводит к дифференциальному уравнению второго порядка и краевой задаче, которая для некоторых значений параметров Яь Яг решения иметь не будет. И в этом есть очевидный геометрический и физический смысл, который прямо соотносится с тем, что наблюдается на практике: когда числа Яі,Яг достаточно велики (или же когда расстояние между дисками достаточно мало) мембрана существует, а поверхность вращения гладкая. Но как только мы начнем увеличивать расстояние между дисками, мембрана будет растягиваться и в какой-то момент времени разорвется (лопнет). Математически же в этот самый момент времени гладкое и непрерывное решение задачи перестает существовать. Однако это не означает, что минимальной поверхности вращения не существует вообще. Очевидно, что в этом вырожденном случае она будет просто объединением двух
Найти минимум
(0.1)
при ограничениях х(0) = Я]., х(1) = Яг.

дисков и отрезка [0,1], их соединяющего. Это означает, что решение x{t) будет R при £ = 0, ПРИ £ = 1 и 0 при £ 6 (0,1) и, таким образом, будет претерпевать разрывы. Другими словами, решение будет импульсным.
Давид Гильберт, в рамках своей известной программы ([14], 20-ая задача), предложил расширить классическое вариационное исчисление с целью покрыть и формализовать подобного рода вырожденные ситуации и, тем самым, придать строгий математический смысл разрывным решениям. Он выразил уверенность в том, что “каждая задача вариационного исчисления имеет решение, если только термин “решение” интерпретируется правильным образом”.
В 1920-х годах грузинским математиком А. Размадзе была предложена некоторая теория, в которой допускались разрывные решения задач вариационного исчисления, [24]. С появлением теории оптимального управления и принципа максимума J1.C. Понтрягина, [95], в 1950-х, теория разрывных решений задач вариационного исчисления значительно обогатилась и плавно влилась в теорию оптимального импульсного управления. Больше об истории расширений вариационного исчисления можно прочитать в обзорной статье [20]. Здесь лишь отметим, что свой вклад в эту теорию внесли Lebesgue, Tonelli, Warga, Young, Боголюбов, Гамкрелидзе, Кротов, Тихомиров и др.
Что изучает теория импульсного управления? Задачи импульсного управления покрывают собой широкий класс вырожденных задач классического вариационного исчисления и оптимального управления, в которых традиционных непрерывных решений не существует. Теория импульсного управления, предлагает, во-первых, тот способ, как интерпретировать понятие решения для таких задач, и во-вторых, тот путь, как обобщенное решение найти, представляя для этого какие-нибудь условия оптимальности. Основная идея здесь лежит в расширении самих понятий управления и траектории. Обычное измеримое
Благодарности
Выражаю искреннюю признательность моему научному руководителю A.B. Арутюнову за всестороннюю поддержку и сотрудничество. Результаты всех пяти глав этой работы получены в соавторстве с ним. Отдельную благодарность хочу выразить профессору Фернандо Перейра из университета города Порто (Португалия) за сотрудничество. Результаты гл. 1 и 2 получены с ним совместно. Также хотел бы выразить отдельную благодарность профессору Е.Р. Авакову. В соавторстве с ним получены результаты гл. 4. Также я признателен профессорам A.A. Аграчеву, Ф.П. Васильеву, В.А. Дыхте, А.Ф. Измаилову, М.И. Зеликину, Г.Г. Магарил-Ильяеву, Б.Ш, Мордуховичу, К.Ю. Осипенко, Е.С. Половинкину, Б.Т. Поляку и В.М. Тихомирову за интересные, плодотворные обсуждения.