Развитие теории метода усреднения для дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми

• Автор: Хатламаджиян, Гаспар Лусегенович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 167 с.

Оглавление
Введение
Глава I. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§1. Уравнение с большими высокочастотными слагаемыми
1°. Обоснование метода усреднения. Формулировка
2°. Обоснование метода усреднения. Доказательство
3°. Устойчивость
4°. Построение асимптотики
5°. Обоснование асимптотики
§2. Система уравнений с быстрыми и медленными переменными
1°. Обоснование метода усреднения. Формулировка
2°. Обоснование метода усреднения. Доказательство
3°. Построение и обоснование асимптотики
Глава И. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения ... 60 §1. Критический случай устойчивости линейных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми
1°. Формулировка результата
2°. Описание алгоритма
3е. Обоснование алгоритма
4°. Замечания
§2. Критический случай устойчивости линейных систем с быстрыми
и медленными переменными
1°. Формулировка результата
2°. Описание алгоритма
3°. Обоснование алгоритма
4°. Приложение
§3. Критический случай устойчивости линейных уравнений п-го порядка
1°. Формулировка результата
2°. Описание алгоритма
3°. Обоснование алгоритма
4°. Приложение
Глава III. Абстрактные параболические уравнения
§1. Абстрактное параболическое уравнение с большими высокочастотными слагаемыми
1°. Известные вспомогательные сведения
2°. Формулировка результата
3°. Замена переменных
4°. Некоторые вспомогательные результаты
5°. Проверка условий типа I — III для оператора L
6°. Переход к интегральному уравнению
7°. Некоторые свойства интегральных операторов Рш
8°. Доказательство утверждений 1, 2 теоремы
9°. Доказательство устойчивости
10°. Доказательство неустойчивости
11°. Замечания
Список литературы
Приложение 1. Доказательство лемм 2.3.1 и
Приложение 2. Асимптотическое интегрирование параболического уравнения
1°. Известные вспомогательные сведения
2.1°. Параболические уравнения второго порядка
2.2°. Усреднение параболических уравнений. Формулировка
3°. Усреднение параболических уравнений. Доказательство
4°. Замечания
5°. Асимптотическое интегрирование параболических уравнений.
Формулировка
6°. Построение асимптотики для параболических уравнений ... 153 7°. Обоснование асимптотики для параболических уравнений .. 155 Приложение 3. Асимптотическое интегрирование обобщенной системы
Навье — Стокса
1°. Усреднение обобщенной системы Навье — Стокса. Формулировка
2°. Усреднение обобщенной системы Навье — Стокса. Доказательство
3°. Замечания
4°. Асимптотическое интегрирование обобщенной системы Навье
Стокса. Формулировка
5°. Построение асимптотики для обобщенной системы Навье
Стокса
6°. Обоснование асимптотики для обобщенной системы Навье — Стокса

Доказательство. Поскольку матричнозначная функция §(ж,т) является Т - периодической по т с нулевым средним, то вторая оценка леммы
1.1.1 устанавливается, как и первая, на доказательстве которой мы и остановимся.
Для любого s G 1 справедливо равенство
s+T Т s+T s
I T)dr = I Во втором интеграле справа делаем замену переменных т = т' + Т и, учитывая Г-периодичность вектор-функции ip(x,r) по т и равенство (<Дж,т)} = 0, приведем наше равенство к виду

J (р(х,т) = Т{(р{х,т)) = 0. (1-1.1)

Пусть к — целое неотрицательное число, удовлетворяющее неравенству 0 ф иЛ — кТ < Т. Из соотношения
uit (i+l)T uit
/Гь х п л
(p(x,r)dT = Е if(x,r)dr+ / ip(x,r)dr
о i=0 iT кТ
(в случае к = 0 в правой части равенства присутствует лишь последнее слагаемое) и равенства (1.1.1) вытекает оценка

а J tp(x, r)di
ф со aTmo,
где то = вир <р(х, т)|. Таким образом, доказываемая оценка справедлива
х£В0
тф,Т]
при ш > (Тшу/оС' Лемма 1.1.1 доказана.
Через До обозначим множество непрерывно-дифференцируемых вектор-функций у : К —» Го- Воспользовавшись леммой 1.1.1, подберем такое Ш1 > 0, что при ш > ш 1 и всех у 6 До значения вектор-функций
х{€) = у) + сп_1/2 <р[у(к),тт (1.1.2)