Многомерные нелинейные интегрируемые уравнения : Асимптотики решений и возмущения

• Автор: Киселев, Олег Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 206 с.

Оглавление
0 Введение

0.1 Объект исследований

0.2 Асимптотическая природа уравнений

Кадомцева-Петвиашвили и Деви-Стюартсона

0.3 Постановки задач

0.4 Метод обратной задачи рассеяния

0.5 Асимптотики решений

с функциональным произволом

0.6 Решения с конечным числом параметров

0.7 Задачи теории возмущений

0.8 Результаты диссертации
0.9 Содержание работы
1 Метод обратной задачи и
5-проблема
1.1 Решение уравнения ДС-
1.1.1 Прямая задача рассеяния для уравнения ДС-2 и эволюция элементов Г-матрицы
1.1.2 Обратная задача рассеяния
1.1.3 Солитонные решения
1.2 Решение уравнений Ишимори-
1.3 Решение уравнения КП-
2 Структурная неустойчивость солитона ДС-2

Оглавление
2.1 Однозначная разрешимость и устойчивость задачи рассеяния
для эллиптической системы Дирака
2.1.1 Теорема о разложении
2.1.2 Разрешимость прямой задачи рассеяния
2.1.3 Сопряженная матрица
2.1.4 Формула для вариации потенциала
2.1.5 Интегральное преобразование типа Фурье
2.1.6 Эволюция коэффициентов разложения
2.2 Структурная неустойчивость двумерного алгебраического
солитона
2.2.1 Компактность интегрального оператора
2.2.2 Задача о нулевом собственном значении
2.2.3 Равномерная асимптотика собственного значения
2.2.4 Обоснование асимптотик собственных значений
2.3 Асимптотика солитоноподобного пакета
2.3.1 Постановка задачи и формулировка результатов
2.3.2 Асимптотика данных рассеяния
2.3.3 Асимптотика решения обратной задачи
2.3.4 Асимптотика солитоноподобного решения
уравнения ДС-
3 Временные асимптотики решений П-задачи
3.1 Асимптотика бессолитонного
решения ДС-
3.1.1 Асимптотическое решение П-задачи
3.1.2 Оценка остатка асимптотики
3.1.3 Асимптотика решения ДС-
3.2 Асимптотика решения уравнений
Ишимори-
3.3 Асимптотика решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили
3.3.1 Основной результат
3.3.2 Аналитические свойства данных рассеяния
3.3.3 Асимптотическое решение П-задачи
Оглавление

3.3.4 Асимптотика в окрестности вырожденной стационарной точки
3.3.5 Обоснование асимптотики решения В - задачи
3.3.6 Решение уравнения КП-
4 Метод обратной задачи и
нелокальная задача Римана
4.1 Решение уравнения ДС-
4.1.1 Прямая задача рассеяния
4.1.2 Эволюция данных рассеяния
4.1.3 Нелокальная задача Римана
4.1.4 Солитонное решение
5 Временные асимптотики нелокальной задачи Римана
5.1 Асимптотика решения уравнений ДС-
5.1.1 Основной результат
5.1.2 Асимптотика решения нелокальной
задачи Римана
5.1.3 Вырожденные ядра
5.1.4 Асимптотика решения ДС-
5.2 Формула для асимптотики решения
уравнения КП-
6 Теория возмущений солитона уравнения ДС-1
6.1 Теория возмущений гиперболической системы Дирака
6.1.1 Основные результаты
6.1.2 Сопряженные функции
6.1.3 Вариация данных рассеяния
6.1.4 Финитные потенциалы
6.1.5 Теорема об интегральном преобразовании
6.1.6 Временная эволюция данных рассеяния
6.2 Возмущение дромиона
6.2.1 Постановка задачи и результаты
6.2.2 Решение линеаризованного уравнения
6.2.3 Уравнение для первой поправки
Глава 2. Структурная неустойчивость солитона ДС-

систему уравнений лДС-2 известный подход к решению линеаризаций 1+1-мерных интегрируемых МОЗР уравнений [122, 125, 13, 14].
2.1.1 Теорема о разложении
Приведем формулу представления гладкой интегрируемой функции в виде интеграла типа Фурье по функциям, связанным с решением задачи (1.2), (1.4). Эту формулу удобно записать, воспользовавшись обозначениями для полуторалинейных форм:
= 11с ^А<1г(/(г)фи(г,к)'ф1^г,к) + )(г) ф2фг,к)ф2Дг, *0),
С2-2)
(ф^,ф^)н = Цс<1к/<1к (фц(г,к)фп(г,к)к(к) - ф{2(г, к)ф52(г, к) Цк)).
(2.3)
Здесь фф - г-тый столбец матрицы ф, ф^ - г-тая строка матрицы ф. Основной результат раздела содержится в следующем утверждении.
Теорема 1 (О разложении). Пусть функция у в задаче (1.2), (1.4) такая, что д, |д|, Дд, д^д, дд, дд - гладкие интегрируемые функции
вещественных переменных х = |(г + 5), у — ^(г — г) и выполнено усло-

,ир1 {*+,№+£»,, <2,. (2.4)
гбС^ } ^-[х+гу)
тогда функция и £ С1 П Ь представима в виде:
и(г) = —(ф^,ф^)й, (2.5)

где коэффициенты разложения й(к) определены формулой:
й = — (фт,ф(2))и. (2.6)
Здесь ф - решение задачи, сопряженной (1.2), (1.4) относительно полуторалинейной формы (2.2).
Замечание 5. Условие (2-4) является достаточным для существования решения задачи (1.2), (1-4) при Ук £ С.