Гиперболичность периодических решений некоторого класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений

• Автор: Журавлев, Николай Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с.

1 Критерий гиперболичности

в случае рационального периода

1.1 Спектр оператора монодромии

1.2 Резольвента оператора монодромии

1.3 О вычислении фундаментальной матрицы 5д(-)

1.4 Пример

1.5 Критерий гиперболичности

2 Критерий гиперболичности

в случае иррационального периода

2.1 Рациональная аппроксимация

2.2 Представление гладких периодических функций

2.3 Построение рациональной аппроксимации
2.4 Критерий гиперболичности
Литература

1. Выбор темы для настоящей диссертации связан с актуальностью исследования динамики, порождаемой нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями. В диссертации изучаются условия гиперболичности периодических решений нелинейных дифференциальноразностных уравнений вида
х'(г) = / (х{ь), х(г - п), х{1 - г2) х(г - гп)) (1)
с положительными рациональными запаздываниями 0 < Г < ... < гп (положим го = 0), где функция / : Кп+1 —У К непрерывно дифференцируема. Строгое определение гиперболичности в терминах собственных значений оператора монодромии (мультипликаторов Флоке) будет дано в определении 1. Здесь отметим, что гиперболичность периодического решения эквивалентна тому, что все траектории в пространстве начальных данных, близкие к периодической орбите, стремятся к ней либо при £ -+ +оо, либо при £ -+ —оо (см. [26, теорема 10.3.1]).
Важность исследования асимптотического поведения решений таких уравнений в окрестности периодических решений подчеркивается в тео-

рии искусственных нейронных сетей [28] и в теории управления с последействием. При изучении лазеров с запаздывающей обратной связью [40] особый интерес представляют неустойчивые (и, в частности, гиперболические) периодические решения. Неустойчивые негиперболические решения тоже встречаются в приложениях (см., например, [17]).
Один из первых результатов по устойчивости периодических решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений получили в 1975 году J. L. Kaplan и J. A. Yorke [30]. Ядром доказательства являлась лемма о пересечении траекторий (здесь имеются ввиду траектории в пространстве М2), в которой развивается идея сравнения решений, использовавшаяся еще в книге А. Д. Мышкиса (см. [14, теорема 20]). J. L. Kaplan и J. A. Yorke рассматривали уравнение вида
х'(*) = !)),
где / — непрерывно дифференцируемая строго монотонная функция, проходящая через начало координат и ограниченная снизу, и исследовали поведение только, так называемых, медленно осциллирующих решений (т. е. решения, нули которых расположены на расстоянии, большем, чем запаздывание). Вопросы существования и единственности периодических медленно осциллирующих решений рассматривали J. L. Kaplan и J. A. Yorke [29], R. D. Nussbaum [36], Y. Cao [18] и другие. При аналогичных ограничениях на правую часть уравнения Н.-О. Walther доказал [41], что все начальные данные, которым соответствуют ограничен-

где матрица О(А) Е С2ДГх2ЛГ определена по формуле
^ ёЛ1(о) - '
£(А) = еА2(0)-ёА1(т) > (3..55)
ел,2лг(0) - ёЛ]2ДГ_1(т)
ёд; обозначает дую строку матрицы 5д. Поскольку при £ £ [0, т] матрица 5д(£) невырождена, то при каждом А ф 0 матричная функция 5л(-) осуществляет изоморфизм между нуль-пространством матрицы <3(А) и множеством решений краевой задачи (1.52), (1.53), (1.54).
Таким образом, из леммы 1.4 следует, что множество решений уравнения (1.45) изоморфно нуль-пространству матрицы ф(А). Обозначим Щ = {А Е С {0} : аеиЭ(А) = 0}.
Теорема 1.5 Пусть А ф 0. Тогда с!шхЛ/’((Л4 — А/)2) = 2 А - гапк(^(А). В частности, а(М) {0}
Лемма 1.5 Алгебраическая кратность ненулевого собственного значения А оператора монодромии равна единице тогда и только тогда, когда гапк(3(А) = 2 А — 1.
Доказательство. Алгебраической кратностью т(А) собственного значения А оператора М называется размерность ядра М((М — А 1)к), где к Е 1*1 — такое число, что А/((М—1)к) = Х1)к+1). Еслит(А) = 1,
то, очевидно, сНт(.Л/(Л1 — А/)2) = 1. Если сНт(Л/’(Л4 — А/)2) = 1, то легко доказать, что сНт(Л/’(Л4 — А/)) = 1 и, следовательно, т(А) = I. Остается применить теорему 1.5. □