Об абстрактных дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом и случайными возмущениями

• Автор: Аль Зухаири Хамид Кадим Давуд
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 83 с. : ил.

Оглавление

0.0 Введение

0.1 Необходимые понятия и факты

1. Теорема существования, единственности и продолжимости решений 32 начальной задачи для дифференциальных уравнений в бесконечномерном пространстве со случайным воздействием и отклоняющимся аргументом
1.1 Теоремы о непрерывной зависимости от параметра и интегральное 32 неравенство для интегрального оператора с запаздыванием
1.2 Меры некомпактности и уплотняющие операторы, возникающие в 37 теории стохастических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

1.3 Теоремы существования

1.4 Теоремы единственности

2. О зависимости от параметра решений стохастических дифференциальных 45 уравнений с отклоняющимся аргументом

2.10 непрерывности по параметру в сильном смысле

2.2 О непрерывной зависимости от параметрав в слабомсмысле

Список литературы

0.0 Введение
Актуальность темы диссертации. Начиная с 50-х годов прошлого века дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом стали разделом теории дифференциальных уравнений. Отметим здесь лишь классические монографии Р. Беллмана и К. Кука [13], А. Д. Мышкиса [24], Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина [36], в которых приведены основные постановки задач для таких уравнений, указаны их приложения. С другой стороны, исследование различных математических моделей физических и технических объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, часто требует учета случайных воздействий на эти обьекты, что приводит к дифференциальным уравнениям, содержащимвыражения зависящие от случайного параметра а) из вероятностного пространства (П,Г , Р), где Р является а —алгеброй событий, а Р - вероятностной мерой, т.е. Р(П)=1.
Простейшие дифференциальные уравнения такого типа имеют следующий вид х = Д4,х, щ). (0.1)
В этом случае часто анализ поведения траекторий может быть произведен при каждомфиксированном ш и дальнейшим вычислениему средненных характеристик. Более сложным является случай, когда воздействие на объектописывается с помощью так называемого "белого шума". В этом случае принятой математической моделью является уравнение следующего вида их = ав Х)сД + Ь(Ъ Х)сгшь, (0.2)
где Аф —стандартный винеровский процесс, заданный на вероятностном базисе (П,Р , Р), где система полунепрерывных справа а —алгебр, согласованная со случайным процессом
При этом под решением начальной задачи х(0) = х0,
(0.3)
сразу же понимается как решение интегрального уравнения

Х(0 = Х0 + J а^Д^))с1в + J Ь(э,Х(5))йШ3 ,
(0.4)

в некотором специальном функциональном пространстве. Второе интегральное слагаемое в правой части понимается в смысле интеграла Ито. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, первые теоремы существования решений у уравнения (0.4) были связаны с условием Липшица для операторов а и Ь по пространственной переменной х и применением принципа сжимающих отображений. В этом случае решение уравнения (0.4) будет единственным, в рассматриваемом функциональном пространстве. В классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений следующим результатом о единственности является теорема Осгуда. Поэтому естественнымусилением результата с условием Липшица для уравнения (4) являются условия типа
имеет единственное нулевое решение на исследуемом отрезке. Такое условие конечно же эквивалентно условию единственности нулевого решения интегрального уравнения
||а(Ьх) - а0:,у)||2 < Ь(Т \х - у\2),
(0.5)
ЦЬ0:,х) — Ь(1,у)||2 < Ь(г,||х -у||2), где Ь некотория непрерывная функция такая, что начальная задача
й = Цъ и), и(0) = 0,
(0.6)
(0.7)
Перейдем теперь к теореме об интегральном неравенстве. Пусть, как и выше функция L непрерывна. Предположим дополнительно, что L монотона по второму аргументу, т.е.
L(t, х) < L(t,y),
если х < у по конус у неотрицательных координат в пространствеЕ.
Теорема 1.3. Пусть непрерывная функция у & С([0 ,Т], Е1) удовлетворяет неравенству

y(t) < Z0 + j L (s, shi ,hmy(s)) ds, (1.5)

и интегральное уравнение t
Z(t) = Z0 + | L (s, Shi hmZ(s)) ds, (1.6)

имеет единственное непрерывное решение Z° на отрезке [О,Г], на который продолжимы все решения уравнения (1.6).
Тогда
y(t) Доказательство. Обозначим правую часть неравенства (1.5) через W(t). Тогда W £ С1 ([0, Т], R1) и y(t) < W(t) при любом t е [0 , Т]. Поэтому
Shi hmy(s) < Shl hmW(s),
и в силу монотонности L по второму аргументу, имеет место следующее дифференциальное неравенство
W(t) < L (t, Shi hmW(t)). (1.8)
Заметим, что Z° является решением дифференциального уравнения
3T(t) = L(t,Shi (1.9)