Нелокальные задачи для уравнений частными производными второго порядка

• Автор: Волынская, Мария Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 88 с.

Оглавление
Введение
1 Задачи для нагруженных гиперболических уравнений
1.1 Смешанная задача для нагруженного гиперболического уравнения в прямоугольнике
1.2 Задача о барабане
2 Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения с оператором Бесселя
3 Нелокальная задача с интегральным условием для вырождающегося гиперболического уравнения в прямоугольнике
Литература

Введение.
Нелокальными краевыми задачами в литературе принято называть задачи, в которых задаются условия, связывающие значения искомого решения и (или) его производных в различных точках границы, либо же в точках границы и в каких-либо внутренних точках [64].
Задачи такого типа возникают при математическом моделировании различных физических, химических, биологических и экологических явлений, когда вместо классических краевых условий задана определенная связь значений искомой функции на границе области и внутри неё. Подобные ситуации имеют место, например, при изучении: явлений, происходящих в плазме [82]; распространения тепла [1],[72]; влагопереноса в пористых средах [63],[14]; некоторых технологических процессов [60]; задач математической биологии и демографии [64]. Исследования нескольких последних десятилетий выявили тесную связь нелокальных задач с обратными задачами [47],[67] и задачами для нагруженных уравнений [64]. Нелокальные задачи имеют большую практическую значимость и при решении задач механики твердого тела, так как позволяют управлять напряженно-деформированным состоянием [31].
Большую роль для многих последующих исследований сыграли статьи Бицадзе A.B. и Самарского A.A. [8] и [82], где систематизированы начально-краевые задачи с дискретными нелокальными условиями, в частности, поставлены и исследованы пространственно-нелокальные задачи для определенного класса эллиптических уравнений. Они названы задачами Бицадзе-Самарского и нашли свое применение в теории упругости и теории оболочек.
Важный вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференциальных уравнений внесли работы Дезина A.A. [35], [36], Жегалова В.И. [42], Моисеева Е.И. [59], Скубачевского A.J1. [83], Гущина А.К. [34], Нахушева А.М. [64], Гордезиани Д.Г. и Авалишвили Г.А. [31], Кожанова А.И. [53].
В настоящее время теория нелокальных задач интенсивно развивается и представляет собой важный раздел теории дифференциальных уравнений с частными производными. Большой интерес в этой области представляют задачи с нелокальными интегральными условиями. Такие задачи служат удобным способом описания условий на искомое решение в тех случаях, когда, например, невозможно непосредственное измерение каких-либо физических
величин на границе области, но известно их усредненное значение внутри. Интегральные нелокальные условия, в некотором смысле, можно считать обобщением дискретных нелокальных условий или условий локального смещения (сдвига), которые имеют вид:
Y, Bu(z) = ßj(z), z£wMj£{J}, (1)

где ш - непустое множество n-мерного евклидова пространства, а {./}-индексное множество числовой прямой.
Задачи с условиями типа (1) рассматривались Стекловым В.А. [88], Бицадзе A.B. [7], Самарским A.A. [82], Нахушевым А.М. [64], [62], Ильиным В.А. и Моисеевым Е.И. [44].
Например, Стекловым В.А. ([88], с.63) показано, что задача об охлаждении изогнутого стержня, при определенной её схематизации, редуцируется к задаче отыскания решения и(х,у), уравнения:
диу - (к0их)х + т0и = 0 (2)
с краевыми условиями:
и(х, 0) = ф(х), 0 < х < £, (3)
а[и(0, у) + а32их(0, у) + а{и{£, у) + а{их(£, у) = 0, (4)
где 0 < у < Т, j — 2,3; д, ко, то -параметры тонкого стержня длины £, отсчитываемой от концевой точки х = 0; заданные постоянные величины.
Рассмотрим подробнее некоторые из статей, которые явились отправной точкой исследований, представленных в настоящей работе. Одной из первых публикаций, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными, можно назвать работу «The solution of the heat equation subject to the specification of energy» [46], в которой Cannon J.R. доказал однозначную разрешимость смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности щ — ихх с начальным условием и(х, 0)—(р(х) и интегральным нелокальным условием

J и(х, t)dx = E(t), 0 где X{t),E(t) £ С1 [0, Т] - известные функции.
Позже задачи с интегральными условиями для параболических

Ф(*) = } Щ,і)и&№ = (к,и)Ы0А-

Рассмотрим равенство:
Тії , ч
11 ъ/К(£,г)ит(£,£)(1€<1х(И = (фт(і),»7*(ж,і)) . (1.41)
ООО ' ' 1ъ(С1)
Как уже отмечалось, последовательность {ит(х, і)} сходится равномерно по ІЄ[0,Т] в норме Ь2(0,£) к элементу и(ж,£), тогда в силу свойств скалярного произведения ([57], с.72)
(К’и)ыо
то есть
ІЩ, (/ *к. ‘К - «№] = о, і є [0, т].
Рассмотрим норму разности:
||Фт(7) - Ф(£)||£2(од.) = / AT(£,f)[um - ti]df j dt -» 0, при m -> оо.
Отсюда следует, что Фто(7) сходится к Ф(7) по норме в 7(0, Т). Так как из сильной сходимости следует слабая, то можно перейти к пределу в равенстве (1-41).
Получаем:
Til Til
Jffib/JvtJK(£,t)um(£,t)d£dxdt = JI r)t j K(Z,t)u(€,t)d£dxdt. (1.42) 0 0 0
В силу условия (1.2), {um(x, 0)} —> у?(ж) при m —» оо по норме в 1/2(0, Т), следовательно:
It it
Jffio/ Фб0) / K,0)um,0)d(dx = j г}(х,0) j K{£,0)ip(£)d£dx. (1.43) 0
Тогда из (1.40), (1.42) и (1.43) следует, что
rfe/f vif K(£>t)vm{£> t)d£dxdt = j j r]-J K(£,t)u(£,t)d£dxdt.
0 0 0

Тождество (1.39) справедливо при /rj(x,t) вида £ hs(t)wg(x). Обозначим

совокупность таких функций T](x,t) через Одг. В тождестве (1.39) перейдем к пределу по выбранной выше последовательности при