Об условиях нелокального по времени существования решений параболических уравнений на многообразиях

• Автор: Морозова, Лора Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 93 с.

Оглавление
Введение
1. О существовании нелокальных по времени решений дифференциальных уравнений на конечномерных многообразиях

1.1. О глобальной продолжимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений

1.2. Феллеровские эволюционные семейства на многообразии. Постановка задачи и обсуждение
1.3. Необходимые и достаточные условия существования полного феллеровского эволюционного семейства

1.4. Случай уравнения теплопроводности../^-стохастичес-

кая полнота многообразия

2. О вложении многообразий в стохастически полные многообразия

2.1. Вложение полного риманова многообразия как вполне

геодезического подмногообразия в

2.2. О вложении полных конечномерных многообразий в
стохастически полные римановы многообразия
3. О существовании феллеровских эволюционных семейств на бесконечных произведениях многообразий
3.1. Постановка задачи
3.2. Основная конструкция для компактных сомножителей
3.3. Случай некомпактных многообразий
Литература

Введение
Условия нелокального (глобального) по времени существования решений различных дифференциальных уравнений представляют большой интерес, в частности, для математической физики в связи с проблемой адекватности описания реальных физических процессов указанными уравнениями. Эти условия изучались многими математиками. Для обыкновенных дифференциальных уравнений на конечномерных линейных пространствах укажем классические работы А. Уитнера (A. Witner), К. Кука (K.L. Cooke), Р.В. Петропавловской, Ж. Леллон-Ферран (J. Lellong-Ferrand), М.А. Красносельского, В.М. Матросова и многих других. В этих работах были получены достаточные условия существования на ( —оо,+оо) (т.е. полноты) всех решений обыкновенного дифференциального уравнения. В работах Ю.Е. Гликлиха [6], [8], [35] было получено необходимое ж достаточное условие полноты на гладком многообразии в терминах ограниченности правой части относительно полных ри-мановых метрик на расширенном фазовом пространстве.
Для конечномерного параболического уравнения задача Коши обычно преобразуется к так называемой абстрактной задаче

полноты стохастического потока, доказываем ряд необходимых и достаточных условий существования полного феллеровского эволюционного семейства, дающего обобщенные решения уравнения
(1.4) на многообразии.
На М рассмотрим задачу Коши для параболического уравнения
(1.4). Мы предполагаем выполненными условия при которых возможно задание на М стохастического дифференциального уравнения в форме Ито (1.7). Пусть решения &)а:(з) уравнения (1.7) существуют при всех начальных точках х € М, начальных моментах времени t € [0, оо) и при всех 5 € [£, +оо). В этом случае мы можем рассматривать феллеровское эволюционное семейство (1.9). Перейдем к абстрактной задаче Коши (1.10) с инфинитезималь-ным оператором А эволюционного семейства (1.9) в правой части. Тогда обобщенное решение задачи (1.4) и(в,х) = [5(0, з)ио](ж) =
также существует при всех начальных точках х £ М и при всех 5 £ [0,+сю). При выполнении всех указанных построений и переходов будем говорить, что оператор А (из правой части (1.4)) порождает на М феллеровское эволюционное семейство з)<;>4>0 (1-9)-
Отметим, что поскольку действие феллеровского эволюционного семейства (1.9) на функции задано явной формулой, оно может быть корректно определено и для неограниченной функции к, если Ек(£^х(з)) < сю.
Определение 6. Эволюционное семейство з)3>г>о назовем