Задача Вентцеля и ее обобщения

• Автор: Назаров, Александр Ильич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 328 с.

1 Задача Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельмгольца

1.1 Постановка задачи. Теоремы единственности

1.2 Свойства повторных потенциалов

1.3 Сведение задач Вентцеля к интегральным уравнениям и их исследование . . . . :

1.4 Некоторые обобщения

2 Квазилинейная двухфазная задача Вентцеля

2.1 Постановка задачи. Формулировка теорем существования

2.2 Локальные оценки максимума Александровского типа для решения линейной двухфазной задачи Вентцеля

2.3 Разрешимость линейной двухфазной задачи Вентцеля

2.4 Гельдеровские оценки

2.4.1 Оценки неотрицательных решений двухфазной задачи Вентцеля вблизи пленки

2.4.2 Оценка константы Гельдера для решения квазилинейной двухфазной задачи
2.4.3 Оценка константы Гельдера с большим показателем для решения линейного уравнения
2.5 Оценка градиента решения квазилинейной двухфазной задачи Вентцеля
2.6 Разрешимость квазилинейной двухфазной задачи Вентцеля

^ 3 Квазилинейная задача Дирихле в областях с гладкими замкнутыми ребрами произвольной коразмерности
3.1 Постановка задачи
3.2 Вспомогательные оценки интегральных операторов
3.2.1 Оценки в пространствах Ь3^а)
3.2.2 Оценки в пространствах Ь«,г,(с»)
3.3 Оценки решения задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности в клине
3.3.1 Оценки решения задачи Дирихле
3.3.2 Оценки решения задачи Неймана при т >
3.3.3 Оценки решения задачи Неймана в двугранном угле
* 3.3.4 Задачи в полупространстве
3.4 Локальные оценки максимума Александровского типа через весовые нормы правой части
3.4.1 Вспомогательные леммы о линейных операторах
3.4.2 Условные оценки в весовых пространствах
* 3.4.3 Вывод основной оценки
3.4.4 Оценки в анизотропных пространствах
3.5 Разрешимость линейной параболической задачи
3.6 Гёльдеровские оценки решения квазилинейной задачи
^ 3.7 Оценки градиента решения
* 3.8 Оценки решения в окрестности ребра
3.9 Доказательство теоремы существования
4 Квазилинейная двухфазная задача Вентцеля в трансверсаль-ном случае
** 4.1 Постановка задачи
4.2 Вспомогательная задача Дирихле в весовых пространствах .
4.2.1 Постановка задачи
4.2.2 Оценки максимума
4.2.3 Гельдеровские оценки

4.2.4 Оценки градиента на границе
4.2.5 Оценки градиента вблизи границы
4.2.6 Разрешимость линейной и квазилинейной задач Дирихле
4.3 Разрешимость линейной эллиптической задачи
4.4 Разрешимость квазилинейной эллиптической задачи
5 Задача Вентцеля для полностью нелинейных эллиптических уравнений
5.1 Постановка задачи
5.2 Оценки градиента решения
5.3 Оценки вторых производных
5.4 Разрешимость нелинейной задачи Вентцеля
6 Вырожденная задача Вентцеля для квазилинейных эллиптических уравнений
6.1 Постановка задачи
6.2 Гельдеровские оценки
6.3 Оценки градиента решения
6.4 Оценки вторых производных
6.5 Разрешимость вырожденной задачи Вентцеля
Приложения
A. О стационарной двухфазной задаче Вентцеля
B. Задача Дирихле в областях с ребрами. Анизотропные пространства294
C. Задача Дирихле в областях с ребрами для эллиптических уравненийЗОО
D. Нестационарная задача Вентцеля в трансверсальном случае
D.I. Вспомогательная задача Дирихле в весовых пространствах
D.2. Разрешимость линейной параболической задачи
D.3. Разрешимость квазилинейной параболической задачи
Работы автора по теме диссертации
Литература

легко видеть, что все слагаемые, кроме последнего, имеют нормальную производную порядка I — 2, принадлежащую С7(2).
Заметим, наконец, что Н Е С/“2(Е), откуда предельное значение (И/0я)г £ Сг_2(2). В силу уравнения Лапласа нормальные производные четного порядка выражаются через касательные производные того же порядка и младшие производные. Поэтому при четном I также имеет правильную нормальную производную порядка 1 — 2.
При нечетном I условия Н Е С1~2(2) недостаточно, но если 2 £ С1+е, то Я £ Сг_2+е(2), и потому ТТЯ Е С1~2+£(Щ.
Таким образом, при выполнении условий теоремы все слагаемые в (4.2) имеют правильную нормальную производную порядка I — 2, и справедлива формула (4.1). Компактность оператора 0® следует из компактности вложения С7 (2) в С (2). Теорема доказана. □
Теорема 4.1 позволяет использовать повторные потенциалы при решении краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца с граничными операторами высокого порядка, представимыми в виде д1
——7 + оператор порядка (/ — 1). о гг
Аналогично §1.3, такие краевые задачи сводятся к уравнениям Фредгольма второго рода.