Некоторые вопросы качественной теории многоточечных задач

• Автор: Майорова, Светлана Павловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 123 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО
ОПЕРАТОРА
§1. Свойства интегрального оператора Я
§2. Свойства интегрального оператора Вл
§3. Свойства интегрального оператора а
§4. Осцилляционность спектра интегрального
оператора В
ГЛАВА 2. ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
СИНГУЛЯРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
§5. Спектральные свойства сингулярных двухточечных
краевых задач
§6. Спектральные свойства сингулярных многоточечных
краевых задач
ГЛАВА 3. ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА БЕССЕЛЯ
§7. Преобразования дифференциальных уравнений
§8. Спектральные свойства краевых задач для
гипербесселевых уравнений
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений осцилляционные спектральные свойства (вещественность и простота всех собственных значений, правильная перемежаемость нулей собственных функций, чебышевость конечных отрезков из последовательности собственных функций и др.) занимают особое место. Впервые эти свойства были описаны в работах Штурма [571 и Келлога [53,54] для уравнений второго порядка. Келлог выделил класс интегральных операторов с непрерывными симметричными ядрами, для которых соответствующие краевые задачи обладают осцилляционными спектральными свойствами. Впоследствии такие ядра были названы ядрами Келлога.
Результаты Келлога послужили основой развития осцилляционной теории двухточечных задач для уравнений старших порядков. В ряде работ Ф.Р.Гантмахера и М. Г.Крейна [5, 6, 16-18] изучены интегральные операторы с несимметричными ядрами и получены осцилляционные свойства спектра двухточечных задач для уравнений четвертого и выше порядков. Отметим, что полное доказательство результатов, связанных с несимметричными ядрами, появилось в печати значительно позже в работах А.Ю.Левина и Г.Д.Степанова [20, 21].
Дальнейшее развитие осцилляционной теории шло в направлении расширения классов краевых задач, функция Грина которых являлась ядром Келлога. Существенным продвижением в этом направлении явилось получение специальных оценок функции Грина Ю.В.Покорным [35-37,39,41]. Полученные оценки позволили описать спектральные свойства для многоточечных

задач Валле Пуссена [38,39,431 и для некоторых нестандартных (переопределенных) задач [22,23,31,40,42,451. И, наконец, распространение результатов Келлога на интегральные операторы с разрывными ядрами [2-4, 461 позволило установить
осцилляционные спектральные свойства для так называемых ”разрывных" краевых задач [41.
Многоточечным задачам не Валле-Пуссеновского типа посвящены работы А.Л.Тептина [47, 483. Вопросы асимптотики спектра и разложимости функций в ряд по собственным (корневым) функциям рассматривались в работах А.П.Хромова [49, 501 (для двухточечных задач) и М.Г.Завгороднего [71 (для многоточечных задач).
Изучение спектральных свойств сингулярных краевых задач началось сравнительно недавно. Одни из первых результатов в этом направлении получены В.И.Юдовичем [51,521. Им установлены осцилляционные свойства спектра для задачи на оси для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Эти исследования получили свое продолжение в работах Ю.В.Покорного и А.В.Боровских [1,443. Результаты В.И.Юдовича были распространены на дифференциальный оператор с переменными коэффициентами.
Изучение спектральных свойств сингулярных краевых задач на отрезке проводилось в работах Ю.В.Покорного и К.П.Лазарева [38,40,431. В указанных работах установлены осцилляционные свойства спектра сингулярных краевых задач Валле Пуссена для уравнения вида
х(п) + р1а)х(п 1) + ... + Рпа)х = ъда)х

ви,з)
К « , гла,з)

при р, г), т, со е [0,1). Доопределим 7гЛ „а,в) на весь
Р * '/* .♦ иЗ
квадрат [а,Ы*[а,Ы, положив на границе квадрата
Пп т> -г г/*» - °-
ЛЕША 2.1. Для любых р,р,т,со € [0,1) функция к -п п- непрерывна по совокупности переменных на
Р / ‘У/
квадрате а<£,эф , за исключением ,быть может, диагональных
вершин Са,аУ и Ф,Ь)
Доказательство. По определению функция ва,в) непрерывна по совокупности переменных Ь,з на квадрате
[а,Ых[а,ЪЗ. Функция ('t-aД“p('Ь-tГСё-аГСЬ-зГ® непрерывна всюду, кроме границы квадрата [а,Ъ]х[а,Ъ] . Следовательно, функция Пл „анепрерывна по совокупности переменных
Р > *)? У
t,s на [а,Ь]х[а,Ы , за исключением быть может границы этого квадрата.
Покажем, что 7г. „ г непрерывна по совокупности
Р * Ч г'1' *
переменных и на границе квадрата. Докажем, например,
непрерывность 7гЛ ,,а>$) на полуинтервале э=а, а<£Ф
Р ‘У /
Для этого рассмотрим Пт |7гЛ „ _ ДзЛ, где
(ь,в)->а0,а.) р’г7'г'ы
а<Ь. В силу оценки (1.2) функции ва,з) имеем
|П. <:
р,т?,а:'с0 Гё~а) (Ъ-з)