Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений

• Автор: Салихов, Рустам Назипович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 101 с.

Содержание
Введение
Вводные сведения
1. Обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования
Глава 1. Нелокальные задачи с операторами Римана-Лиувилля
1.1. Задача со смещением
1.2. Аналог первой задачи Дарбу
1.3. Аналог второй задачи Дарбу
1.4. Выводы к первой главе
Глава 2. Нелокальные задачи с операторами М. Сайго и Эрдейи-Кобера
2.1. Нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера
2.2. Существенно нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера
2.3. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического
уравнения
2.4. Краевая задача с обобщенными краевыми условиями
2.5. Выводы ко второй главе
Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы. Теория краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа в настоящее время является очень важным разделом теории дифференциальных уравнений с частными производными. Во многих научных школах России (Москва, Нальчик, Самара, Казань) и за рубежом (Минск, Алма-Ата, Ташкент, Бишкек) бурно развивается направление нелокальных краевых задач, в том числе задач с операторами дробного интегро-дифференцирования в граничных условиях, т.е. таких задач для дифференциальных уравнений в частных производных, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках, лежащих на границе или внутри рассматриваемой области.
Такое внимание к теории нелокальных краевых задач не случайно, так как дифференциальные уравнения с частными производными нашли важные применения в различных задачах математической физики, химии и т.п. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтрации грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах, движения жидкости в канале окруженной пористой средой, распространение электромагнитных полей и установившихся волн в стратифицированной жидкости, занимающей неограниченную область. Как отмечено в обзорной статье
О. А. Олейник [55], изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Эти практические приложения дифференциальных уравнений в частных производных приводят к

необходимости изучения как локальных, так и нелокальных краевых задач для уравнений различного типа.
Систематическая разработка теории краевых задач для вырождающихся уравнений различного типа с четкой постановкой задач, доказательством существования и единственности решения, началась в 20-30 годы прошлого столетия. В эти годы Ф. Трикоми [76] и С. Геллерстедтом [84] были получены основополагающие результаты.
Следующим шагом в развитии теории вырождающихся уравнений различного типа стали работы Ф.И. Франкля [79], [78], в которых он разработал важные практические применения изучаемых уравнений в газовой динамике. Позже М.А. Лаврентьев отметил целесообразность исследования краевых задач для уравнений более простого вида, изучение которых позволяет раскрыть основные свойства решений данных уравнений. Так, совместно с A.B. Бицадзе в работе [30] была рассмотрена краевая задача для уравнения Лаврептьева-Бицадзс. В последующих работах A.B. Бицадзе [6-11] было продолжено исследование задач, поставленых в [30].
Основой развития краевых задач со смещением явились важные исследования, полученные В. И. Жегаловым [16],[17] и А. М. Нахушевым [49-51]. Глубокие результаты в этом направлении представлены в работах А. В. Бицадзе [6-11], В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [21, 22], Г. Д. Каратопракли-ева [23], Л. С. Пулькиной [61, 62], Ф. Г. Мухлисова [40-42], Р. С. Хайрулли-на [80, 81], Н. Б. Плещинского [37, 57], К. Б. Сабитова [67], А. Н. Зарубина [18-20], А. И. Кожанова [27], С. А. Алдашева [1] и других математиков.
Благодаря исследованию А. М. Нахушева [45-52], его учеников и последователей, стала бурно развиваться теория задач со смещением, краевые условия которых содержат операторы дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля. Нелокальным задачам, содержащим операторы дробного интегро-дифференцирования, посвящены работы таких известных

Замечание. Для существования выше найденных пределов требуется уело-

вие ограниченности следующих функций (—у)та, (—у)т° , {—у)т° при
у —> 0—, а это накладывает условия на знак степени, который должен быть больше нуля. Эти условия выполняются при условии т > | , которое задано в условии теоремы.
Подставив (1.24), (1.25), (1-26) в краевое условие (1.20) получим следующую задачу Коши:
а(х, 0)т'(х) + с(х, 0)т(х) — с1(х), (1-27)
т(0) — 0, (1.28)
где т(0) = 0 — условие согласования.
Если а(х, 0), с(х, 0), сІ(х) Є С(1) р) C'1(J), то получим, что т{х) Є С1(3) П С2(,7).
Как было показано ранее
«[©о] = т{х) - (1о+и){х),
тогда на основании [71]
(Щи[в0])М = І(4Ф) - ІЦІГЦ) (1.29)
Учитывая (129), преобразуем краевое условие (1.21)
о+т)(ж) - (10+'и)(х) = Ви(х) + х)>
о»(х) + Ви(х) = д(/0+т)(ж) - (х)
Обозначим
Фо(х) = (/07+т)(ж) - ф(х) . (1.30)
Тогда используя определение оператора Римана-Лиувилля (9), получим

2Г(1+7) I ~~ + Ви =