К вопросу о сингулярных функционально-дифференциальных уравнениях

• Автор: Шиндяпин, Андрей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 103 c. : ил

Глава I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ВОЛЬТЕРРСВЫХ

ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ Д"

„ д п г

§ 1.1. Пространства /V р

§ 1.2. Линейный интегральный оператор

§ 1.3. Оператор внутренней суперпозиции

Глава II. ЛИНЕЙНОЕ СИНГУЛЯРНОЕ ФУНКЦИОНАЛБНО-ДШЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

§ 2.1. Задача Коши

2.1.1. Предварительные сведения /44/. 2.1.2. Разрешимость задачи Коши /49/. 2.1.3. Задача Коши для уравнений с монотонным оператором
(-к-5) /и/.

§ 2.2. Краевая Задача

2.2.1. Линейная краевая задача /58/. Приводимость квазилинейной краевой задачи к уравнению Гаммерштейна /66/.
Глава III. НЕЛИНЕЙНОЕ СИНГУЛЯРНОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-Д®-
ФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
§ 3.1. Задача Коши '
§ 3.2. Априорные оценки решений задачи Коши
§ 3.3. Краевая задача
Литература

Уравнение
ХСР'ЧСР ,*(£) = 44$) , если ^#[0,63
благодаря своей актуальности [20, 23, 32, 59] и специфическим трудностям для исследователя вызывает постоянный интерес математиков (см., например, обзоры [б, 13, 50]). Основное предположение большинства известных нам работ об уравнении (I) состоит

в том, что значения оператора $ , определяемого равенством
(Тх)(Ь
есть суммируемые функции при каждой абсолютно непрерывной функции X І2, 5, 7]. Однако существует довольно широкий класс уравнений, не удовлетворяющий указанному условию. Рассмотрим в качестве примера два линейных уравнения:
у ҐІ2)
Х(^)= ~~£Г * 2 СЪ ? і: С2)
х(Ъ= (і-) + + иіО.-Ц (3)
Положив х(1)- >ГЕ , мы получим в правых частях обоих уравнений несуммируемые слагаемые. Таким образом результаты указанных работ не могут быть применены к рассмотренным уравнениям.
Хорошо известно, что эффективность исследования того или иного уравнения в значительной мере зависит от выбора пространства, в котором уравнение изучается. Очевидно, что в случае, когда не выполняются условия действия оператора ^ из пространства абсолютно непрерывных функций Ь в пространство суммируемых функций , для получения содержательных результатов мы должны ограничиться более узким классом, чем пространство абсолютно непрерывных функций. Например, уравнение (3) допускает рассмотрение в классе непрерывно дифференцируемых функций [бз1. Но при этом мы должны требовать непрерывность функции г? » что для рассматриваемого уравнения представляется излишне жестким ограничением. В качестве иллюстрации приведем одно утверждение, являющееся следствием результатов второй главы настоящей работы.
Утверждение I. Пусть существуют константы М.* О I р! такие , что

Тогда уравнения (2) и (3) разрешимы.
Мы рассматриваем сингулярные функционально-дифференциальные уравнения (примерами которых являются уравнения (2) и (3)) не на всем пространстве абсолютно непрерывных функций, а на некотором его подмножестве. Предлагаемые приемы построения таких подмножеств позволяют перенести на изучаемый нами объект ряд известных результатов и методов исследования уравнения (I).
Как известно [61] уравнение (I) в линейном случае может быть записано в каноническом виде:
хф-0 при I$[(),£].

Пример 3. Задача Коши
хсЫ^ +хф=?(Ь , ЫОЛ
У.(ОЬА
разрешима при тех | и сі , для которых существует число М
такое, что
^ ^ М^ при ^>2.,

Теорема 2.1.3. Пусть оператор к удовлетво-

ряет условию Ж , Ми Н1 , йДьСД
1<Ч О
( Рч ^ “І )» . Пусть, далее, М,
] і рСрч
#(4>міМй(Ь, ^ ^ . Тогда задача (2.7)разрешима
при тех и £ , при которых ({-Аі)еЛр.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.1.2. Пример 4. Задача Коши
*сЬ+ м, + №^1>4(Ь , * ^о,п,
Х() = 0 , если ^ (р £ О,
іще , м,. мг - некоторые константы,
разрешима при любом измеримом запаздывании , если для некоторого числа *
^ 4 м е

В случае, когда ^ ( X> 0 ), решение существует,
если