Нелинейная краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений распространяющихся электромагнитных ТМ-волн в нелинейном слое

• Автор: Валовик, Дмитрий Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 100 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Система дифференциальных уравнений распространяющихся электромагнитных ТМ-волн
в нелинейном слое
1.1 Постановка задачи для случая изотропной среды в слое
1.2 Решение системы дифференциальных уравнений распространяющихся электромагнитных ТМ-волн
1.3 Краевые условия и условия сопряжения
2 Нелинейная краевая задача на собственные значения
2.1 Формулировка краевой задачи на собственные значения
2.2 Дисперсионное уравнение для собственных значений
2.3 Предельный переход к случаю линейной среды в слое
2.4 Первое приближение для собственных значений
2.5 Теоремы существования
и локализации собственных значений
2.6 Случай анизотропного нелинейного слоя
2.6.1 Постановка задачи
2.6.2 Решение системы дифференциальных уравнений
2.6.3 Условия сопряжения и дисперсионное уравнение
3 Результаты расчетов собственных значений
и собственных функций
3.1 Сравнение результатов расчетов собственных значений в случае линейной и нелинейной среды в слое
с первым приближением для собственных значений
3.2Расчет собственных значений и собственных функций
в зависимости от различных параметров
Список литературы
Введение

Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются в течение нескольких десятилетий. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрическом слое. Явления распространения электромагнитных волн в нелинейных средах представляют как самостоятельный интерес, так и находят широкое применение, например: в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике. Нелинейные эффекты наблюдаются в таких соединениях, как жидкие кристаллы [1], полупроводники кЯЬ и Н«Сс1Те и т.д. Вследствие этого большое значение приобретает разработка математических моделей для таких задач и методов их решения. Математические модели с учетом нелинейных эффектов и некоторые результаты представлены в работах П. Н. Елеонского и В. П. Силина [2, 3].
К основным нелинейным эффектам, возникающим в веществе при распространении в нем электромагнитных волн, относятся явления самофокусировки, дефокусировки и самоканализации лучей и т.д. [4-6]. В связи с большим количеством нелинейных эффектов и различным их влиянием на распространение электромагнитных волн в веществе большое значение приобретает аналитическое и численное изучение таких явлений. Учет нелинейных эффектов при построении математических моделей для описания подобных явлений приводит к задачам решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, точнее, к нелинейным краевым задачам на собственные значения [2, 3, 7, 8], которые в большинстве случаев не поддаются решению в аналитическом виде. Подобные трудности приводят к тому, что исследователи рассматривают такие задачи при некоторых упрощениях [9] или аппроксимируют решения простыми функциями [10] без достаточного обоснования.
Впервые уравнения, описывающие распространение волн в нелинейной среде, с нелинейностью, выраженной законом Керра, были выведены в 1971—1972 гг. в пионерских работах П. Н. Елеонского и В. П. Силина [2, 3].
Наиболее изучены явления распространения ТЕ-поляризованных электромагнитных волн. Результаты, связанные с распространением электромагнитных ТЕ-волп в различных волноведущих структурах как в волноводе, так и в слое, представлены в [6-8, 11-14]. Работы Ю. Г. Смирнова и С. Н. Куприяновой [7, 8] посвящены изучению краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТЕ-волн, распространяющихся в нелинейном круглом (цилиндрическом) волноводе с нелинейностью, выраженной законом Керра. Для решения краевой задачи на собственные значения в [7, 8] применяется метод функций Грина, а решение получающегося нелинейного интегрального уравнения находится итерационным методом. Статья [6] посвящена изучению распространения электромагнитных волн в нелинейном диэлектрическом слое с поглощением, причем отдельно изучается случай нелинейности по закону Керра. В работе Н. ¥. Зсйигшапп, В. С. Серова и Ю. В. Шес-топалова [13] изучается отражение и прохождение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном слое. Слой расположен между двумя полубеско-нечными линейными средами. Все среды предполагаются средами без потерь, а также немагнитными изотропными и однородными. В этом случае удается проинтегрировать получившиеся обыкновенные дифференциальные уравнения и выразить компоненты электромагнитного поля в терминах эллиптической функции Вейерштрасса.
Случай распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейных средах является более сложным, чем случай ТЕ-волн, т.к. наличие двух компонент электрического поля сильно усложняет анализ [15]. Это связано с тем, что диэлектрическая проницаемость достаточно просто выражается в терминах компонент электрического поля и наличие двух компонент электрического поля приводит к более сложной зависимости диэлектриче-

(2.1.6)—(2.1.8) при условии (2.1.9) непрерывны и дифференцируемы (см., например [48,49]).
Определение 1. Число у = Уо, при котором существует ненулевое решение І7 задачи (2.1.б)-(2.1.8) при условиях (2.1.9), будем называть собственным значением задачи. Решение і7, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты Х(х) и £(.*;) вектора Р - собственными функциями.
Замечание. Определение 1 является неклассическим аналогом известного определения характеристического числа линейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра [50]. Введенное определение 1 является, с одной стороны, распространением классического определения собственного значения на случай нелинейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, с другой стороны, соответствует физической природе задачи.
Известно, что электромагнитные волны в слое распространяются на определенных (выделенных) частотах, которым соответствует определенное значение спектрального параметра у, причем этих частот конечное число. Эта ситуация характерна как для линейного, так и для нелинейного случаев и изучена экспериментально. Поэтому нахождение собственных значений у, а также собственных функций і7 (описывающих электромагнитное поле) важно в приложениях.
2.2 Дисперсионное уравнение для собственных значений
Из положительности правой части второго уравнения системы (1.2.21) видно, что функция г|(х) является возрастающей на интервале (0; И). Учитывая знаки в выражениях (1.3.12), получаем, что функция ц(х) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0;/г), а необходимо имеет