Некоторые вопросы классификации Бэра показателей Ляпунова

• Автор: Рожин, Александр Феодосьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с. : ил.

1 О полунепрерывности сверху старшего показателя Ляпунова неоднородной системы

1.1 Показатели Ляпунова неоднородных систем

1.2 Минимальная полунепрерывная сверху мажоранта старшего показателя Ляпунова

2 Неоднородные системы в альфа-экспоненциальной топологии

2.1 Верхний центральный альфа-неоднородный показатель

2.2 Полунепрерывная сверху мажоранта старшего показателя Ляпунова неоднородной системы

2.3 Системы с экспоненциально убывающими неоднородностями

3 О классах Бэра в точке показателей Ляпунова однородной системы в топологии сходимости в среднем

3.1 Локальная бэровская классификация показателей Ляпунова

3.2 Двумерные показатели Ляпунова

4 О классе Бэра в точке показателей Ляпунова однородной системы в равномерной топологии
4.1 Примеры систем с показателями Ляпунова локально в точности первого класса Бэра
Литература

Одним из основных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей [3,12], которые были введены А. М. Ляпуновым в связи с исследованием устойчивости по первому приближению. Библиография в обзорах Н. А. Изо-бова [8,10] по изучению теории показателей Ляпунова и связанных с ними характеристик насчитывает несколько сотен наименований.
Важным вопросом теории показателей Ляпунова является вопрос об их зависимости от правой части системы дифференциальных уравнений. Перрон показал [21], что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве линейных однородных систем, наделенном топологией равномерной сходимости коэффициентов на положительной полуоси, является разрывной функцией. Усилиями Р. Э. Винограда [6], В. М. Мил-лионщикова [13], Н. А. Изобова [9] и И. Н. Сергеева [28,30] для каждого из показателей Ляпунова был получен критерий его полунепрерывности сверху в данной точке, а в не более чем трехмерном случае — и критерий полунепрерывности снизу.
В. М. Миллионщиков предложил [14] для описания свойств характеристик асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений использовать классификацию Бэра [4] разрывных функций, установив, что показатели Ляпунова, как функционалы на пространстве систем с топологией равномерной сходимости коэффициентов на компактах, принадлежат второму классу Бэра. Затем М. И. Рахимбердиев доказал [22], что эти показатели не принадлежат первому классу Бэра даже на пространстве систем

с равномерной топологией.
Свойства показателей изучались на пространствах не только с перечисленными выше топологиями. Так, М. И. Рахимбердиев и НХ. Розов [23] рассматривали пространство линейных однородных систем с топологией сходимости в среднем. В пространстве систем с такой топологией для каждого из показателей Ляпунова И. Н. Сергеев получил [29] критерий его полуне-прерывности сверху и снизу в отдельности, а также доказал [31], что он не принадлежит никакому классу Бэра.
В. М. Миллионщиков распространил определение [16] показателей Ляпунова на линейные неоднородные системы, что естественным образом привело к изучению свойств этих характеристик в рамках теории Бэра разрывных функций. О. И. Морозов нашел [19] критерий полунепрерывное сверху старшего показателя, рассматриваемого как функционал на пространстве линейных неоднородных систем, наделенном равномерной топологией, а также доказал [20], что показатели Ляпунова на этом пространстве являются функциями второго класса Бэра.
Впоследствии И. Н. Сергеев [32] начал изучать локальные свойства характеристических показателей с точки зрения все той же теории Бэра разрывных функций. Оказалось, что если понимать локализацию, как суже- ние на некоторую окрестность системы в пространстве с топологией равномерной сходимости коэффициентов на компактах, то каждый из показателей Ляпунова по отношению к любой точке имеет второй класс Бэра, а для пространства с равномерной на положительной полуоси топологией младший показатель Ляпунова локально по отношению к любой точке либо имеет нулевой класс, либо не имеет и первого. Позже был предложен [33] еще один вариант локализации, идея которой заимствована у К. Куратовского [11], так появилось определение принадлежности показателя какому-либо классу Бэра в точке. В дальнейшем это определение было модифицировано В.В. Быковым [1], который установил [2], что на пространстве линейных однородных не менее чем двумерных систем с равномерной

стороны А принадлежит множеству (3.3), а сдругой — нет. Значит, Ад не принадлежит никакому классу Бэра в точке А.
В случае, когда и (А) = шп(А) < П(Л) из пунктов с1) и 1) леммы 3.1 следует непрерывность показателя и в точке А, т.е. принадлежность его нулевому классу Бэра в этой точке. Из пункта с) леммы 3.1 следует полу-непрерывность сверху показателя П, что при разрывности его в точке А, в силу леммы 3.4 означает — С1 принадлежит в точности первому классу Бэра в точке А.
Если же о/(Л) < ш„(Л) < П(Л), то в силу пункта с) леммы 3.1 и полунепрерывен снизу в точке А и разрывен в силу пункта 1), значит, по лемме 3.4 принадлежит в точности первому классу Бэра в точке А. Принадлежность О в точности первому классу Бэра в точке А в этом случае доказывается также, как и в случае со(А) = ш„(Л) < П(Л).

Теорема 3.2. Все возможные соотношения между и(А), шп(А) и П(Л) описываются условиями а), Ь) и с) теоремы 3.1, причем каждое из этих условий задает в Мп непустое подмножество.
Доказательство. В теореме 3.1 не указан лишь случай
ш{А) < шп{А) = П(Л), (3.4)
который не возможен. В самом деле, если шп(А) = П(Л), то в силу пунктов с) и 1) леммы 3.1 показатель непрерывен в точке А, что в силу пункта с) леммы 3.2 приводило бы нас к справедливости пункта б) леммы 3.2, т.е. выполнению равенства ш(А) = шп(А), которое противоречит первоначальному предположению (3.4). Теперь покажем непустоту каждого из множеств задаваемого пунктами а), Ь) и с) теоремы 3.1.
1) непустота класса и)(А) = ш„(Л) = П(А). Рассмотрим систему с матрицей Л(£) = diag(l, 1 1), ее оператор Коши имеет вид
ХА(Ь, з) = (Иа§(е(<-3), ...,