Устойчивость решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений

• Автор: Кадиев, Рамазан Исмаилович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 234 с.

Устойчивость решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений

Оглавление

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Общая теория стохастических функционально-дифференциальных уравнений

§1.1. Предварительные сведения и объект исследования

§1.2. Существование и единственность решения задачи Коши 29 §1.3. Представление решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений

§1.4. Многочлены со случайными коэффициентами и жорданова форма случайных матриц

Глава 2. Устойчивость решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений

§2.1. Устойчивость и разрешимость задачи Коши

§2.2. ” 1Г-преобразование” для линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений
§2.3. Экспоненциальная р-устойчивость функционально-дифференциальных уравнений Ито
§2.4. р устойчивость с весом и операторы, удовлетворяющие Д-условию
§2.5. Устойчивость с вероятностью единица линейных систем со случайными матрицами
Глава 3. Задача о накоплении возмущений для линейных стохастических функционально—дифференциальных уравнений §3.1. Допустимость пар пространств
§3.2. Устойчивость по начальной функции решений линейных стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
§3.3. Достаточные условия устойчивости некоторых уравнений 104 Глава 4. Устойчивость по части переменных решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений

§4.1. Устойчивость по части переменных и разрешимость задачи Коши
§4.2. Изучение устойчивости по части переменных решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений W-преобразованием
§4.3. р-устойчивость по части переменных с весом
Глава 5. Задача о накоплении возмущений по части переменных для линейных стохастических функционально—дифференциальных уравнений
§5.1. Допустимость пар пространств по части переменных
§5.2. Устойчивость по части переменных решений по начальной функции для линейных стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
§5.3. Достаточные условия устойчивости по части переменных некоторых уравнений
Глава 6. Устойчивость решений нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений
§6.1. Устойчивость решений по первому приближению
§6.2. Устойчивость по части переменных по первому приближению

§6.3. Достаточные условия устойчивости и устойчивости по части переменных решений некоторых нелинейных уравнений
Литература

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
(О, Т, Р) — основное вероятностное пространство;
— множество элементарных событий (о> Є О);
Т — сг-алгебра событий на і\
Р — полная вероятностная мера на Т]
(.7ч),* >0 — непрерывный справа поток сг-алгебр;
в(У) — борелевская сг-алгебра метрического пространства V;
N — множество натуральных чисел;
Бп — п-мерное эвклидово пространство;
|.| — норма в Ка;
||.|| — норма к х п-матрицы, согласованная с нормой вектора в К’1: Z = со1(и ,2т) — т-мерный семимартингал; к11 — линейное пространство Т\-измеримых п-мерных случайных величин;
Ln(Z) — линейное пространство п х т-матриц на [0, +оо[, строки которых локально интегрируемые по семимартингналу 2> гп мерные случайные процессы;
Вп — линейное пространство п-мерных случайных процессов на [0, +оо[, представимых в виде

х(і) = ж(0) +1 H(s)dZ(s), о
где ж(о) є кп, н е ьп{гу,
X* — мера, порожденная неубывающей функцией Л : [0, +оо[—> Я1+; Ьд — линейное пространство скалярных функций на [0, +оо[, суммируемых со степенью д при 1 < г/ < ос по мере Л* и ограниченных в существенном по мере Л* при д = оо;
Е” — линейное пространство п-мерных функций на [0, +оо[, суммируемых со степенью д при 1 < д < оо и ограниченных в существенном при д = оо;
— линейное пространство п-мерных прогрессивно измеримых случайных процессов на [0,+оо[, траектории которых почти наверно локально суммируемы со степенью д при 1 < д < оо и локально ограничены в существенном при д = оо;

иметь на [О, Т] при любом Т е]0,оо[ стохастический функциональный контрактор.
Следствие 3. Через любое ж(0) Е кп проходит единственное решение уравнения (1.1.6).
Здесь также Ф(х,у) = 0 для любых х,у Е Dn, Ф(£) — ((-Рг( Е ||Aij

\))(t)
j—0 0 < ||ar||t, t E [О, T] почти наверно при г = 1 = 0, то опе-
ратор (У2)Т для уравнения (1.1.7) будет иметь на [0, Т] при любом Т (Е]0, оо[ стохастический функциональный контрактор.
Следствие 4. Через любое ж(0) 6 кп проходит единственное решение уравнения (1.1.8).
В этом случае оператор {УХ)Т будет иметь на [0,Т] при любом Т Е G]0, +оо[ стохастический функциональный контрактор, где Ф(ж, у) = 0 для любых х,у Е Dn, Ф(*) = ((PT\H1\)(t)
§1.3. Представление решений
Представление решений детерминированных функционально-дифференциальных уравнений (формула Коши) играет важную роль, например, в задачах устойчивости, краевых задачах, а также в теории квазилинейных уравнений. Некоторые результаты для стохастических уравнений получены в [87, 92, 93, 131], где рассмотрены уравнения Ито без последействия. В настоящем параграфе утверждения из [4-7] для детерминированных уравнений распространяются на стохастический случай, а также рассматривается вопрос о представлении решений для конкретных уравнений, кроме того, уточнены и дополнены некоторые теоремы из [87, 92, 93, 131].