Линейный и нелинейный анализ некоторых задач теории аэроупругости при малом коэффициенте демпфирования

• Автор: Толбей, Анна Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 110 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НИЖНЕЙ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ФЛАТТЕРА
1Л. Постановка задачи
1.2. Определение нижней критической скорости флаттера
1.2.1. Случай шарнирного опирания
1.2.2. Случай жесткого закрепления пластинки
1.3. Сравнение с методом Галеркина
Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ В СЛУЧАЕ, КОГДА КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ БЛИЗКА К НИЖНЕЙ КРИТИЧЕСКОЙ
2.1. О применении бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа
2.1.1. Случай шарнирного опирания
2.1.2. Случай жесткого закрепления пластинки
2.2. Исследование случая близкого к критическому резонанса 1:1
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНКИ В СЛУЧАЕ РЕЗОНАНСА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ 1:2
3.1. Линейный анализ
3.2. Нелинейный анализ
3.3. Нелинейный анализ в случае двустороннего воздействия потока газа
Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНКИ В СЛУЧАЕ РЕЗОНАНСА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ 1:3
4.1. Линейный анализ
4.2. Нелинейный анализ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Среди неконсервативных задач теории аэроупругости особо важное место занимает задача об устойчивости и колебаниях тел в потоке газа и жидкости. Аэроупругие явления (дивергенция крыла, флаттер крыла и хвостового оперения) явились побудительным мотивом к созданию многих разделов современной математики и, в частности, теории дифференциальных уравнений. Здесь достаточно вспомнить работы академиков М.В. Келдыша и М.А. Лаврентьева по созданию теории флаттера крыла [14], [15]. Работы М.В. Келдыша послужили прологом по созданию современной теории несамосопряженных дифференциальных операторов (см., например, [16]).
Потеря устойчивости аэроупругих и гидроупругих систем представляет одно из самых опасных явлений, поскольку часто ведет к быстрому разрушению конструкций. Различают два вида потери устойчивости - статическую (дивергенцию) и динамическую (флаттер). Дивергенция представляет собой статическую деформацию (выпучивание) конструкции, возникающую при преодолении потоком некоторой критической скорости. Флаттером называются автоколебания системы поток - упругое тело. Причиной дивергенции и флаттера является передача энергии потока в упругую среду. Скорости потока, при которых деформации, вызванные дивергенцией, приводят к разрушению, обычно выше скоростей, при которых наступает флаттер. Поэтому именно флаттер представляет наибольшую опасность.
Начиная с пятидесятых годов прошлого века, стали привлекать внимание задачи, связанные с вибрацией обивки современных летательных аппаратов, возбуждаемых набегающим потоком воздуха. Причиной этому послужило создание самолётов и ракет, движущихся со сверхзвуковой скоростью.
Пусть поток воздуха обтекает одну сторону пластинки, а на другой стороне воздух остается неподвижным (см. рисунок ниже, где стрелкой отмечено направление потока газа).

Впервые панельный флаттер был отмечен во время Второй мировой войны на немецких ракетах, в результате многие из них были подвержены разрушениям [58]. Проблемы такого сорта возникали и позднее. Так, на американском истребителе F-117A в 1980-х гг. после испытательных полётов было обнаружено разрушение примерно половины композитных панелей обшивки, которые затем были перепроектированы [64], [65].
Панельный флаттер возникает при сверхзвуковых скоростях обтекания. При этом разрушения могут происходить за достаточно большой промежуток времени и носить усталостный характер. А иногда, напротив, разрушения происходят за очень короткий промежуток времени и носят взрывной характер, то есть колебания возникают жестко. На опытных образцах самолетов в таких случаях было видно, что машина разваливалась за несколько секунд. С земли казалось, что аппараты взрывались.
При исследовании этого явления выявились проблемы как и в области механики, так и в области математики.
Специфические трудности в области механики состояли в том, что было трудно выразить аэродинамические силы через возмущения обтекаемой поверхности. Эта проблема с достаточной точностью была решена
В. Хейсом [59] и A.A. Ильюшиным [13], разработавшими методы для приближенного учета аэродинамических сил, которые вошли в теорию под названием «закона плоских сечений» или поршневой теории. Согласно этой теории связь давления, действующего на колеблющуюся пластину и прогиба, выражалась в простейшем варианте (см., например, с. 280 - 287 из монографии [4])

Рис. 11. Графики уравнений Р(а,р) = 0, (тонкий) и р(а,р) = О (толстый)
После решения системы уравнений (1.19), (1.20), автором были получены следующие значения
(а0, Р0) = (2,89481; 7,95958) си =636.56859; Л01 =2741,35683.
Приведем решение системы (1.18)
А, =0,3311-1,38238/; А2 =0,3311 + 1,38238/; А3 =-1,6622; А4 =1. Поскольку при найденном с3 = с1± соответствующее А0 = Л01 - кратное и исходя из утверждения леммы 1.5, получаем, что линейный оператор Цс±) имеет собственную функцию

е0(х) = £А(ехр(м,х).

Присоединенная функция определяется равенством
И0(х) = В)ехр(м]х)+хС)ехр(р]х),

коэффициенты которой могут быть найдены после решения соответствующей системы линейных уравнений