Гетероклинические контуры, порождающие устойчивый хаос

• Автор: Чернышев, Владимир Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 209 с.

Оглавление
Введение
Глава I. Гетероклинические контуры
§1 Равноразмерностные гетероклинические контуры Лоренцева типа §2 Неустойчивые поверхности гетероклинических контуров Лоренцева типа §3 Гетероклинические контуры с седло - фокусами §4 Возмущение гетероклинических контуров Глава II. Гетероклинические циклы Лоренцева типа, порождающие персистентные хаотические множества §1 Построение сильно устойчивого расслоения над гетероклиническим циклом Г §2 Построение сильно устойчивого расслоения над окрестностью гетероклинического цикла для возмущенной системы §3 Построение сильно устойчивой ламинации в окрестности гетероклинического цикла §4 Хаотическое инвариантное множество, порожденное гетероклиническим циклом типа Лоренца §5 Возмущение хаотического инвариантного
множества, порожденного гетероклиническим
циклом типа Лоренца
Литература
Введение
Имеется много примеров трехмерных автономных систем дифференциальных уравнений таких, что наличие у них достаточно простого инвариантного множества — гетероклинического контура — влечет существование хаотического инвариантного множества в любой окрестности гетероклинического контура. В этом случае будем говорить, что гетероклинический контур порождает хаос.
Определение. Гетероклиническим контуромТ будем называть связное компактное инвариантное множество системы дифференциальных уравнений, состоящее из конечного числа траекторий л, i € 1 : т, и их а и и> - предельных множеств:
Г — и {и»£1:тО'('у;)} и {1ф£1:тоц/('у{)}.
При этом каждое предельное множество, входящее в контур Г является либо замкнутой траекторией системы, либо точкой покоя и они гиперболичны.
Определение.[45]
Инвариантное множество J будем называть хаотическим, если выполнены следующие три условия
1. Множество J транзитивно, то есть существует всюду плотная в J траектория системы дифференциальных уравнений.
2. Множество периодических траекторий плотно в «7.
3. Имеется чувствительная зависимость от начальных данных, то есть существует число е > 0 такое, что для любой точки х € J и любого числа 6 > 0 существуют точка у и момент времени £ > 0 такие, что р(х,у) < 6 и р(дгх,дгу) > е, где через р(х,у) обозначено расстояние между точками, а через д* — поток, порожденный автономной системой.
В первую очередь к гетероклиническим контурам, порождающим хаос, следует отнести трансвер сальные гетероклинические циклы на замкнутых гиперболических траекториях.
Определение.
Гетероклинический контур Г будем называть гетероклиническим циклом, если нумерацию траекторий в нем можно выбрать так, что ш(л) = а(7**1), * € 1 : т - 1, ш{т) = «(71) и
а(7г) П а(77) = 0 при i ф У(той га).

Каждое предельное множество, входящее в трансвер сальный гетер оклинический цикл на замкнутых траекториях, представляет собой замкнутую гиперболическую траекторию системы, при этом устойчивое многообразие IV* предельного множества а( л) трансверсально пересекает неустойчивое многообразие
предельного множества о/(л) по траектории л, ъ € 1 : га. Порожденные такими гетероклиническими циклами хаотические инвариантные множества подробно исследованы ([36], [18], [21], [22], [53]). Из этих работ следует, что хаотическое инвариантное множество, порожденное таким циклом, сохраняется при С1 - малых возмущениях системы. Более того, оно является локально грубым.
Определение.[3, стр. 47]
Инвариантное множество д системы дифференциальных уравнений будем называть локально грубым, если у него имеются такие окрестности и Э V Э «/, что для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что для любой системы дифференциальных уравнений, которая отличается в II в С1-метрике от исходной системы меньше чем на 5, существует гомеоморфизм б : V —> С7, который
сдвигает точки меньше, чем на е, и переводит дуги траекторий исходной системы, лежащие в V, в дуги траекторий возмущенной системы, лежащие в НУ, с сохранением ориентации.
Ситуация коренным образом меняется, если рассматриваемая система дифференциальных уравнений имеет гетер оклинический цикл, содержащий точки покоя. В этом случае при некотором i устойчивое многообразие Ж® пересекается с неустойчивым многообразием нетрансверсально по траектории л и такой цикл
может быть разрушен сколь угодно С1- малым возмущением исходной системы дифференциальных уравнений. Это означает, что любое инвариантное множество исходной системы, содержащее такой гетероклинический цикл, не может быть локально грубым.
Однако, имеются примеры систем дифференциальных уравнений, имеющих гетероклинический цикл с точками покоя такой, что в любой его окрестности лежит хаотическое инвариантное множество возмущенной системы дифференциальных уравнений, если возмущение достаточно С1- мало.
В этом случае будем говорить, что хаотическое инвариантное множество персистентно.
Хронологически первым примером такого гетероклинического

Лемма 1.1.3. Пусть траектория л €Е Г такова, что 0(7;) = Pi является замкнутой траекторией и многообразия W“ и Wf+1 пересекаются трансверсально по траектории Л- Кроме того, если ш(уг) = Ог является точкой покоя, траектория л входит в нее касаясь направления < г>*+1 >. Тогда существует непрерывный инвариантный пучок Р(х), х € а(л)илисй(л), удовлетворяющий условию

Доказательство. Определим плоскость Р(х) для х € a(7t) и ji как касательную плоскость ТхTT“ к неустойчивому многообразию W“. Тогда свойство II автоматически выполняется на множестве а(л) U 7j. Проверим, что, если предельное множество ш(л) = Ojpi есть точка покоя, то плоскость Р(х) стремится к плоскости < > при х -4 Oi+i, х (Е 7,'. Это непосредственно следует
из сильной Л-леммы [41]. Докажем это, рассуждая аналогично доказательству леммы 1.1.2. Именно, в достаточно малой окрестности Kpi предельного множества Oi+i можно ввести координаты £,С»*7 так, что система 1 примет вид:
Г £ = ui + l£ + г-ц(С) Ci v)
< C = Ai+1C + F«+1(e,C,r?) (1.1.4)
. Г} = ßi+ir) + Zt+1(£,(,ri),
где дг+1 > О > Лг+1 > щ+1, функции Xl+i,Yi+1,Zi+i € Сг~2(И+х) и равны нулю вместе со своими частными производными первого порядка при £ = ( — г} = 0. Кроме того, Хх(0, 0, ц) = 0 = Г+х(0, 0, ??); Угрх(£> 0, 0) = 0 и Zi+(С) С; 0) = 0. Возможность введения таких координат доказана в работе [42]. Геометрически указанные условия означают, что ось £ является сильно устойчивым многообразием, ось г} — неустойчивым многообразием, а плоскость (£, г/) — устойчивым многообразием предельного множества 0{+. Пусть решение сp(t) системы 1.1.4 задает траекторию л в окрестности К'+х- Рас* смотрим систему в вариациях для решения q = A(t)q, (1.1.5)
где q = Матрица Л(£) стремится к диагональной матрице
diag(r*'+x, Агрх? ßi+i) при t -4 +00, так как ip(t) —4 0 при t -4 +00, а
частные производные функций -X+Xj Yi+i,Zi+1 равны нулю в нуле.