Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений

• Автор: Климова, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 106 с.

Оглавление
Введение.

1 Обзор исследований и постановка задачи.

1.1 Обзор известных исследований в области нелокальных задач

1.2 Постановка задачи с интегральными условиями

2 Единственность решения.

2.1 Априорная оценка решения задачи с однородными условиями

2.2 Теорема о единственности решения исходной задачи

2.3 Примеры задач с интегральными условиями для различных гиперболических уравнений

3 Существование решения.

о.1 Сведение задачи с интегральными условиями к

задаче Гурса для нагруженного уравнения
3.2 Эквивалентность задачи Гурса и некоторого операторного уравнения Pv = v
3.3 Изучение свойств оператора Р
3.4 Теоремы о существовании и единственности решений задачи Гурса и задачи с интегральными условиями
3.5 Решение задачи с интегральными условиями в явном виде для частного случая гиперболического уравнения

Заключение.
Литература.
Введение.
Многие разделы теории дифференциальных уравнений в частных производных к настоящему времени приобрели законченный вид. Классические краевые задачи для дифференциальных уравнений математической физики классифицированы и довольно хорошо изучены.
Но современные проблемы естествознания приводят к необходимости дальнейших теоретических исследований, поскольку возникают качественно новые задачи, отличающиеся своей постановкой от классических. В математической литературе в последние десятилетия появился целый ряд работ, посвященных подобным вопросам. Все чаще привлекают внимание специалистов задачи, называемые нелокальными.
Среди нелокальных задач большой интерес представляют задачи с интегральными условиями. Они встречаются во многих приложениях. Такого рода условия встречаются, например, при моделировании некоторых технологических и демографических процессов; при моделировании задач, описывающих процесс диффузии частиц в турбулентной плазме, процесс влаго-переноса в пористых средах, процесс распространения тепла в тонком нагретом стержне; при моделировании задач биологии, связанных с описанием динамики численности популяции особей. Появление условий интегрального вида порождено ограниченными возможностями для измерения тех или иных реальных характеристик в рассматриваемой области.
В последние годы стали появляться работы, посвященные изучению таких задач для различных типов уравнений. Исследования в этой области начаты с эллиптических и параболических уравнений. Более трудными для изучения являются

С помощью сформулированной и доказанной в этой главе теоремы единственности можно легко убедиться в единственности полученного решения конкретной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения.
Пример 3. К уравнению
иЛг„{х,у) + (х+у)их{х,у) + (х+у)и1/(х,у)+2и(х1у) = 2+2 {х-у)
присоединим условия
Г . О
I и(х,у)<1у = Ь(х2 - хЬ+ —), х € (0, а).

Нетрудно проверить, что условия теоремы единственности выполнены при любых положительных а и Ь. Функция
и(х, у) = (х - уУ
удовлетворяет данному уравнению и поставленным условиям, следовательно, она является единственным решением рассматриваемой задачи.