Краевые задачи для параболических уравнений в пространствах Гельдера-Зигмунда

• Автор: Конёнков, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 159 с.

Содержание
Обозначения
Введение
1 Задача Коши для уравнения теплопроводности в пространствах Зигмунда
1.1 Гладкость потенциала Пуассона
1.2 Гладкость объемного потенциала
1.3 Задача Коши
2 Решения модельных задач для уравнения теплопроводности в пространствах Зигмунда
2.1 Некоторые свойства функций из пространств Зигмунда
2.2 Потенциал двойного слоя
2.3 Некоторые свойства решений задачи Коши
2.4 Первая краевая задача
2.5 Недостаточность дифференциальных условий согласования
2.6 Задача с косой производной
2.7 Потенциал простого слоя
2.8 Задача Тихонова
3 Задачи Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и теплопроводности в областях с прямыми углами
3.1 Некоторые свойства функций из параболических пространств Зигмунда
3.2 Краевые задачи для уравнения теплопроводности
3.3 Необходимость разностных условий согласования
3.4 Первая краевая задача с неоднородными начально-граничными условиями
3.5 Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа
3.6 Логарифмические особенности производных решений для уравнений Лапласа и теплопроводности

4 Задача Коши для параболических уравнений с переменными коэффициентами в пространствах Зигмунда
4.1 Вспомогательные утверждения
4.2 Задача Коши
5 Внутренние и промежуточные априорные оценки
5.1 Внутренние априорные оценки для уравнения теплопроводности
5.2 Интерполяционные неравенства
5.3 Внутренняя априорная оценка решений параболических уравнений с переменными коэффициентами в пространствах Зигмунда
5.4 Априорные оценки решений первой краевой задачи в пространствах Гельдера.-3игмунда
6 Краевые задачи для параболических уравнений с переменными коэффициентами в пространствах Зигмунда
6.1 Формулировка результатов
6.2 Необходимость разностных условий согласования
6.3 Первая краевая задача
6.4 Задача с косой производной
6.5 Априорные оценки решений краевых задач для эллиптических уравнений в пространствах Зигмунда
Список литературы

Обозначения
Введем следующие обозначения. Пусть х = (ад
— мультииндекс, кі > 0, і = 1
А = Хл=і Щ-оператор Лапласа, дп = .+rjn9„. —производная
по направлению ц = (щ щ
f(x1t+At)-f{x,t)1 AlJ(x) = Ax(Alx lf(x));Ai{h)f(x) = f(x+hei)~f{x), і = 1
разности по координатным направлениям.
Мы будем также использовать следующие обозначения для конечных разностей на множестве 12 С Жп+1:
Здесь [Р, (] - отрезок, соединяющий точки Р, Є Мп+1.
В слое Р рассматриваем область 12, граница которой <912 — Бои Вт и Е, где Во ~ область на плоскости £ = 0, Дг - область на плоскости £ — Т, Е — п-мерная поверхность. Сечение Ет = Е П {£ = т} для любых т Є [О, Т] является (гг.—1)-мерной поверхностью, которая в каждой своей точке имеет (п — 1)-мериую касательную плоскость, лежащую в п-мерной плоскости £ = т. В каждой точке Р = (х°, £°) поверхности Е существует вектор Р(Р), который является ортом внутренней (по отношению к 12) нормали в точке Р к поверхности Ег, лежащей в плоскости £ = т.
Систему координат (у
• -(- ж2)1/2, ж' = (жі
при [(ж, £), (ж + I Ax, £)] С 12, при [(ж, £), (ж + I Ax, £)] gL 12,
при [(ж,£), (ж, £ 4-2Д£)] С 12, при [(ж, £), (ж, £ + 2Д£)] gL 12.

< О-уІ/іі... < Сфкдк = С|/ц ... /гт|4/”||*д.
л/іі /*/гт
/2 = // ..(?!„,«(> + АіЄі, + ... + Атеііп,72)с(Аі.. ,сІп
Л іо
< сфкМп ґ.. /м 7і'” сгл
Jo JО
= С|/г1.../гт|‘',тЖ№.
Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает, в частности, что для к = тах к, при т> к разность порядка т по любым координатам от функции 'ф є Н(Шп) не превосходит Скк.
Лемма 2.2. Пусть ір Є Нз(Шп). Тогда для = 1,
|АІ(К)діф{х) - ИАДК)д1ф{х) < Сф31і2.
Доказательство. Без ограничения общности считаем, что /г > 0. Имеем:
(Д 1(К)діф(х) - НАДК)дІФ{х) < |Д1(Щд$ф{$) — Ы1 АДК)А2і(К)ф{х)+
+к~1АДК)А{ЩфЩ - ЬЛ](Ь)д?ф(х) = 1 + /2.
Оба слагаемых оцениваются с помощью предыдущей теоремы:
її < А{К)дф{х) — /і_1Ді[Ь)АІ{К)’ф(х — Дё,/2)|+
+ДД11Д,(Д) Д 2(к)[ф(х - /гёу/2) - ф{х)] = J + 72-мг
гЛ/1
/ Д2(Д)[ Х-к/1
/ Д2(Л,)[29,?/)(а;) — дф(х + скё,) — д]ф(х — ае,)](1а <
У—Л/2
лЛ/2
< СД 1 І-’ІЗ.М" / %!*>: = Ск ІІЗД».
Х~Ъ.П
Ц < СД2||зд»