Усреднение дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью

• Автор: Соколовская, Елена Валериевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 112 с.

Основные обозначения

Глава 1. Аппроксимация сверху дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью

§1.1 Аппроксимация сверху дифференциальных включений с медленными переменными

§1.2 Аппроксимация сверху системы дифференциальных включений

с медленными и быстрыми переменными

§1.3 Теоремы об аппроксимации сверху для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Глава 2. Аппроксимация снизу дифференциальных включений

с нелипшицевой правой частью

§2.1 Аппроксимация снизу дифференциальных включений с медленными переменными

§2.2 Аппроксимация снизу системы дифференциальных включений

с медленными и быстрыми переменными

§2.3 Теоремы об аппроксимации снизу систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Глава 3. Взаимная аппроксимация дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью
§3.1 Взаимная аппроксимация дифференциальных включений с медленными переменными
§3.2 Взаимная аппроксимация системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными
§3.3 Пример на применение взаимной аппроксимации дифференциальных включений в задаче о минимизации терминального функционала
Заключение
Список литературы

Дифференциальные включения (или, как их еще называют, дифференциальные уравнения с многозначной правой частью) — сравнительно новая область математики, интенсивно развиваемая в последние десятилетия как за рубежом, так и отечественными математиками. Это объясняется, в частности, тем, что, как оказалось, дифференциальные включения, наряду со стохастическими дифференциальными уравнениями, являются удобным и общим средством для описания недетерминированных процессов, в которых локальные характеристики нельзя определить однозначно. Далеко не полное представление о публикациях, вышедших за этот период по этой теме дает список литературы [1]—[49], [61]—[72]. Бурному развитию теории дифференциальных включений способствовало также установление связи дифференциальных включений с задачами оптимального управления, в частности, с задачей о минимизации терминального функционала. Кроме того, так как дифференциальные включения являются естественным обобщением дифференциальных уравнений, аппарат дифференциальных включений позволяет установить и новые свойства решений дифференциальных уравнений.
Известно, какое большое значение в асимптотических методах имеет принцип усреднения Крылова - Боголюбова. Напомним [31], что согласно этому принципу при рассмотрении задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром или, что то же самое, для обыкновенного дифференциального уравнения вВ"с малым параметром, исходная задача
х = д/(£, х), ж(0) = х0 (0.0.1)
на асимптотически большом промежутке [0,1/д] заменяется на так назы-

ваемую усредненную задачу
й = д/о(и), «(0) = х0,
(0.0.2)
в которой правая часть /о(и) строится как следующий предел:

Основанием для такой замены является доказанное при некоторых предположениях Н. Н. Боголюбовым [31] утверждение о близости решений Хц(1), ид(£) задач (0.0.1) и (0.0.2) соответственно в следующем смысле:
(А) для любого е > 0 существует До > 0 такое, что для всех д € (0, до]
При этом от функций / и /о требовалась липшицевость по ж и и соответственно. Позже принцип усреднения обобщался в различных направлениях. Обзор многочисленных результатов, связанных с усреднением обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем можно найти в [43]. Отметим лишь некоторые из них.
М. М. Хапаевым [67] принцип усреднения был обоснован для обыкновенных дифференциальных уравнений в случае нелипшицевой правой части вида /о(£, х) + /(£, ж) исходной задачи (функция /о предполагается липши-цевой по ж).
В. М. Волосовым [35],[36] этот принцип был обобщен на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, включающих наряду с медленными переменными (ж) быстрые переменные (у) :
Подобно задаче (0.0.1) эта задача также заменяется на усредненную задачу
выполняется неравенство ЦжД^) — %(£)|| < £ V £ € [0,1/д].
ж = д/(і,ж ,у,д), ж(0) = ж0,
у = д(і,х,у,ц), у( 0)
(0.0.3)
й = д/0(«), и(0) - ж0.
(0.0.4)

при всех достаточно малых ц > О для любого решения (жД£), Уц{1)) задачи (1.3.5) найдется решение и^{Ь) усредненной задачи, близкое на асимптотически большом промежутке [0,/ц к медленной составляющей хД/) решения (;сЛ(£), ?/Д£)) исходной задачи, то есть такое, что
II*#»(*) “ иЖ)\ <£ V < е [0,!///].