Нелокальные задачи со смещением и интегральными условиями первого рода для гиперболических уравнений

• Автор: Дюжева, Александра Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 95 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Нелокальная задача с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения
1.1 Постановка задачи с динамическим
смещением
1.2 Разрешимость задачи со смещением
1.2.1 Доказательство единственности обобщенного решения задачи со смещением
1.2.2 Доказательство существования обобщенного решения задачи со смещением
Глава 2. Нелокальные задачи с интегральными условиями первого рода для гиперболического уравнения
2.3 Постановка задачи с двумя интегральными условиями
первого рода
2.3.1 Эквивалентность нелокальных условий первого и второго рода
2.4 Разрешимость нелокальной задачи с двумя интегральными условиями
2.4.1 Доказательство единственности обобщенного решения задачи
2.4.2 Доказательство существования обобщенного решения задачи
2.5 Постановка нелокальной задачи с одним интегральным условием
2.5.1 Эквивалентность нелокальных условий первого и второго рода
2.6 Разрешимость нелокальной задачи с одним интегральным условием
2.6.1 Доказательство единственности обобщенного решения задачи
2.6.2 Доказательство существования обобщенного решения задачи

Введение
Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных сформировались при решении классических задач математической физики, возникших при моделировании различных процессов, и многие разделы к настоящему времени приобрели законченный вид. Классические задачи для уравнений в частных производных классифицированны и хорошо изучены. Но современные проблемы естествознания приводят к необходимости обобщения классических задач математической физики, а также к постановке качественно новых задач. В настоящее время широко изучаются математические модели таких физических процессов, граница области протекания которых недоступна для непосредственного измерения, но возможно получение информации о некоторых его свойствах во внутренних точках области, либо о соотношении значений искомого решения в различных точках границы. Такие задачи были названы нелокальными задачами. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения. При математическом моделировании такую информацию удобно представить в виде интеграла.
По-видимому, термин "нелокальные условия "был впервые введен A.A. Дезиным в работе [12]. Задолго до начала систематических исследований появились работы, в которых рассмотрены задачи с нелокальными условиями различного вида. В книге Я.Д. Тамаркина [76] поставлена задача с интегральными условиями для обыкновенного дифференциального уравнения. В.А. Стеклов в своей работе

функций у(х,Ь) € Иа только для функций вида ц(ж, £)

2 д](1;)ги](х). Но множество всех таких функций плотно в (<3г) з
(см.[42], с.215), поэтому утверждение о существовании решения задачи из пространства И1 (<3г) доказано полностью.
Замечание. Условие Н4 может показаться искусственным, либо вынужденным, из-за того, что мы не можем оценить интегралы, содержащие произведения значений функций и производных в точказ разных частей боковой границы. Однако именно это условие, в случае постоянных /%, является условием самосопряженности оператора С(у) = — у"(х) + д(т)и(ж) с нелокальными условиями (3) ([43]), которое обеспечивает разрешимость задачи в случае постоянных а,;, Ьг- в условии (1.15) и частного случая коэффициента с(ж, £) = д(ж). Полученные результаты будут использованы в следующей главе.