Смешанные (контактные) краевые задачи для эллиптических систем

• Автор: Жура, Николай Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 c. : ил

ГЛАВА I. СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

§ I. Постановка задачи и некоторые общие утверждения

§ 2. Основная смешанная краевая задача

§ 3. Об одном случае задачи наклонной производной

для эллиптических систем на плоскости

§ 4. Основная смешанная краевая задача плоской

теории упругости

ГЛАВА 2. ОСНОВНАЯ СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ

КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ 5. Основная смешанная краевая задача для эллиптических систем с кусочно-постоянными коэффициентами ' . . >'.бб

§ б. Основная смешанная краевая задача плоской

теории упругости для кусочно-однородной среды
ЛИТЕРАТУРА

В диссертации изучаются смешанные краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными, коэффициенты которых либо постоянны, либо кусочно постоянны.
Сформулируем прежде всего постановку смешанной краевой задачи.
Пусть -Л - конечная односвязная область на плоскости & > ограниченная достаточно гладкой кривой Г . Положительным направлением на Г1 назовем направление, при движении вдоль которого область _П остается слева. Пусть Л и Гг две дуги, на которые Г разбивается (фиксированными) точками ^ , причем началом дуги является точка X , С = I, 2. Через ^(х.) будем обозначать единичный вектор внешней, по отношению к Л , нормали к X в точке хеП, х
Рассмотрим в Л систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
АЛХ1Х1 + 2В'иХ1хг + О г (0.1)
где А>&) С - заданные постоянные, вещественные матрицы, а АуС(оС) _ ИСКОМЫЙ т- мерный вектор } ЗС = (ос^ } )
Система (о.Н) называется эллиптической, если <Аг1С^(р и характеристическое уравнение ХеХ 'ХА ^) = О ,
%(Л)~ А+ 2 £> ^ -+ С } не имеет вещественных корней.
Дважды непрерывно дифференцируемый в Л вектор удовлетворяющий в Л системе (о. 4 ) , назовем регулярным ре-
- ц
шением системы (0.4)
Требуется определить регулярное в Л решение системы (о. О удовлетворяющее следующим краевым условиям
ри*)= 4(*) де/:
ЮЛ)
(О. г')
Условия, накладываемые на ю- мерный вектор 4Л и на /ихж матрицы , рг(эс) будут уточнены ниже.
Под 4хМ , в левой части равенств (0.1)
( ОЛ') понимаются предельные значения на Г искомого вектора ■и(ос) и его частных производных первого порядка. Впервые смешанная краевая задача (для уравнения Лапласа) была поставлена Заремба [43 . Изучение смешанных краевых задач для эллиптических уравнений занимает важное место в теории уравнений смешанного типа [23, [3], [43ь [3>3 . Для уравнений как второго, так и высшего порядка смешанные краевые задачи подробно изучались многими авторами / 6], [43 , 1$) , [5] (см. также библиографию в [403 9 [413). В настоящее время теория таких задач также интенсивно развивается [Л], [433,
Для эллиптических систем смешанные краевые задачи изучены менее полно, особенно если иметь в виду, что зачастую требуется указать эффективный метод для нахождения решения задачи в целом.
С этой точки зрения весьма полезным является метод, основанный на использовании теории функций одного комплексного переменного [3], [43, [44/3, [45] , [44]
Этим методом исследованы многие краевые задачи для эллип-

всюду на Г за исключением, быть может, точек £, .
В левой части (3.2) под понимаются предельные
значения на ^ частных производных первого порядка искомого вектора
Смешанная краевая задача для системы Ш), когда на Л задано условие ^ , а на /I - условие (з. а) , где
2. •. л
р СЛ) / л у СОЪ'ЪХ ?
Л'Г
сводится к задаче (3-2) в предположении, что 4М , хе^ достаточно гладкая функция.
Сформулированная выше задача 4), будет изучаться по схеме, аналогичной изучению основной смешанной краевой задачи, поэтому изложение будет более кратким.
Согласно теореме I, общее представление регулярных решений
системы (3.4) класса
Н/(-а)
имеет вид
= А. Р 7 ^3 з)
где Л 'А дается выражением [4.40 ) :
М = Л I / ^ + 0%} + Л с/],
3=1 у
2у? ^ } СРпг. ^ ><9 , (Х^хх) 6 П2 ,
/О ^ /О / 1 !,1
векторы ‘-'/о 7 Чо определяются из уравнений (1.42, ), а голоморфные функции аргумента ^ , где (Хц'Хг) € ~П
принадлежат классам