Корректность краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции

• Автор: Туласынов, Михаил Станиславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 99 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§1.1 Пространства Гельдера
§1.2 Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений
§1.3 Некоторые интегро-дифференциальные формулы
II. КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЯ СКЛЕИВАНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОМПОНЕНТАМИ
§2.1 Краевая задача для уравнения ы, б§п х = и:а + —их с произвольной в

бесконечной полосе
2.1.1. Единственность решения задачи
2.1.2. Существование решения задачи
§2.2 Безусловная разрешимость
§2.3 Краевая задача в ограниченной области
2.3.1. Существование решения задачи
III. КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ С ПОЛНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЯМИ СКЛЕИВАНИЯ С
ПЕРЕМЕННЫМИ КОМПОНЕНТАМИ
3.1. Единственность решения задачи
3.2. Существование решения задачи
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы французского математика М. Жевре ([24, 25]) в 1913-1914 гг. К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения.

В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии(поверхности) или при достижении граничных точек. Это, прежде всего, линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля. Последним были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Это, в частности, стало причиной возникновения широкого фронта исследований в этом направлении, образования больших научных групп.
В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы A.B. Бицадзе [7], И.Н. Векуа [10], В.Н. Монахова [49], С.А. Терсенова [87-91], Т.И. Зеленяка [6, 26, 27] , А.П. Солдатова [84-85], Т.Ш. Кальменова [28] и их научных школ. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа была предметом исследования В.Н. Врагова [11— 14], Г. Д. Каратопраклиева [29, 30], А.Г. Кузьмина [41], А.И. Кожанова [14, 39, 40], С.Г. Пяткова [14, 80-83], И.Е. Егорова [16-23], А.Г. Подгаева [62-64] и других авторов.
Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением эволюции. Простейшей моделью является уравнение
U'Sgnx + Lu f(x), (0.1.1)

где L - эллиптический оператор второго порядка. Данное уравнение при х Ф О является параболическим, однако для него задача Коши с данными при t = 0 не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных модельных уравнений такого вида построена в работах С.А. Терсенова [87-91], С.В. Попова [65-79], И.Е. Егорова [16-23], A.A. Керефова [32-33], Н.В. Кислова [35-38], С.Г. Пяткова [14, 80-83], В.В. Катышева [31], Х.Х. Ахмедова [3], М.С. Боуенди, П. Грисварда [4], К.Д. Пагани, Г. Таленти [54-57], О. Арены [1, 2] и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в
классах типа W] решение существует и единственно. Но более гладкие
решения существуют только при условиях выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что С.А. Терсенов изучал эти задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, сводил их разрешимость к разрешимости сингулярного интегрального уравнения и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде.
В представляемой работе рассматривается случай, когда L
л д2 к ô
эллиптический оператор второго порядка с оператором Бесселя Вк = —j н
дх х дх
Данное уравнение (0.1.1) при х * 0 является параболическим, причем на прямой х = 0 коэффициент при производной по х имеет особенность. Рассматривается случай условий склеивания с полной матрицей с постоянными или переменными коэффициентами, более того, находится зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.
В уравнениях с неявным изменением эволюции (нелинейный случай) возможности еще более разнообразны, сама постановка задачи зависит от входных данных. Так, в модельном уравнении типа Хопфа и:и - иа — 0 смена направления параболичности происходит там, где решение и(х, t) меняет знак. О.Б. Бочаров [9] показал разрешимость задачи Дирихле для этого уравнения, когда начальные данные разных знаков задаются при t = 0,t = T. Проблеме

Ум)(0 + ап сов(яа) (ИЫ)(0 - К(Ы,(Г))

ап5т(ла) ( Т — £ V ц(/ 1}(т)
Л"2'
Т — г ) Г

с1т
Г(а)зт(жа) 7гФ:,/)(г)-Ф';ЧПг _ Г(а)ж(ла)>(Т){Т-I)“
(г-0"

1-2 а
Иы>(г)

2«“а
Г(а)

ГГГ>)л.гГ2(£1лЧ
!(/-/)“ 0 ('/' - т)"

+ф'М)(о-фУ1)(г).
где функции Им-)( 0 и //М(г) ищем из пространства // 2 (0, Г).
Вводя новую искомую функцию Ц_1-)(0 = _1(0-У_1(2
уравнения (2.1.39) имеем
ц{1 (О + ацСоза)-! у(' 4(О-"—*4) 1 +
(2-1)
71-

ап этОта) ‘е( T — t У у{‘ 15 (т)
Т-т) г -

Г(а)зт(я-а) 7гФ(т) - Ф(Г)

1-2«

Г(а)5ш(лга)Ф(о)(Г)(Г - ()“ ап?,т{ла)у(1 1}(Г) 'е( Т -tX т

1-2 а

:т-т
г ~t
-с!т,

(/-!)

21-2аа21у(Т)(Т2~а -12~а) (-а)(2-сс)Т(а)Т~

01-2« „ 2 а.

Г(а)
г гат-гГМЛ]+ФГ>(0-ФГ(П
•»(/-г)“ (Т - тУ* I 1 1 * '
Чг-тГ
/+2аг
Так как г('°(0 ищем из пространства Н 2 (0, Т), то из уравнения системы (2.1.40) следует, что должно выполняться
т. ,7(1-1)
!(Т-тУ
17 (г> л*г(а)ф°(Г) I °"1' <г>
а21~2а а( 1 - «)Г“
42.1.39)

(2.1.40)
первого
(2.1.41)