Геометрические свойства решений уравнений в частных производных

• Автор: Половинкин, Игорь Петрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Старый Оскол
• Количество страниц: 232 с.

Оглавление
I Формулы средних значений решений линейных уравнений в частных производных различных типов
1 Теорема о среднем значении для волнового уравнения в евклидовом пространстве и ее следствия

1.1 Теорема о среднем значении для волнового уравнения в евклидовом пространстве

1.2 Обращение теоремы о среднем значении для волнового уравнения в евклидовом пространстве.

1.3 Некоторые следствия из теоремы о среднем

для волнового уравнения

1.3.1 Двухточечная теорема о среднем для гармонической функции

1.3.2 Формула среднего для телеграфного уравнения

1.3.3 Двухточечная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца

2 Свойства средних значений решений некоторых линейных уравнений в частных производных в неевклидовых пространствах

2.1 Формулы средних значений для присоединенных функций оператора Лапласа-Бельтрами в римановой метрике с постоянной кривизной
2.2 Формулы средних значений для присоединенных функций оператора Лапласа-Бельтрами в метрике евклидова пространства, сферы и пространства Лобачевского
3 Символический подход к теоремам о среднем
3.1 Понятие сопровождающего распределения оператора
3.2 Связь теоремы о среднем для линейного однородного дифференциального оператора с
его символом
3.3 О получении новых формул средних для гармонических функций и для уравнения теплопроводности
3.4 Свойства средних для операторов, раскладывающихся на множители
3.5 Сопровождающие распределения линейных однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными
3.6 Замечания об обращении теорем о среднем
3.7 О получении новых формул средних для уравнений вида Р(П)щ 4- Ащ = и
Р(0)щ + Хи0
4 Свойства средних значений решений
некоторых сингулярных дифференциальных
уравнений
4.1 О сопровождающих распределениях
сингулярных дифференциальных уравнений

4.2 Некоторые сведения о сферических средних, порожденных обобщенным сдвигом
4.3 Весовые сферические средние функции (#,£)■
4.4 Дифференциальное уравнение для весовых сферических средних
4.5 Сингулярное ультрагиперболическое уравнение и теорема типа теоремы Асгейрссона
II Некоторые приложения методов дифференциальной геометрии к
исследованию свойств линейных
уравнений в частных производных
5 О структуре множества кратных
нулей решения линейного однородного
эллиптического уравнения.
5.1 О свойствах главной части решения эллиптического уравнения в окрестности кратного нуля
5.2 Предварительные результаты о размерности
многообразия кратных нулей
5.3 Окончательные результаты о размерности многообразия кратных нулей
6 О границах применимости геометрических
методов.
6.1 Постановка проблемы
6.2 К-однородная метрика, связанная с пространствами Кипрянова
6.3 Вычисление геометрических характеристик
для К-однородной метрики
6.4 Исследование геодезических линий для К-
однородной метрики

Для стационарного уравненния
ДУ - зУ = О
в разделе 7.3 выведена двухточечная формула среднего значения
у№о,+^о, = ||(1/^2^х
I V + ^^Д.рзто) «Юйр') , (7.3.15)

где £ = у/г2 — а2 /2 .
Эта формула выражает связь между дисконтированными доходами в двух точках и распределением дохода в окрестности (специального вида) этих точек.
Результаты раздела 5 переносятся на стационарную модель Т. Пу следующим образом (этому посвящен раздел 7.4).
Назовем точку (ж0, у0) точкой безнадежности модели Пу (7.3.14), если
У(х°,у°) = УУ(ж°,у°) = 0. (7.4.16)
Равенства (7.4.16) следует расценивать как отсутствие отклонения от фиксированного уровня дохода и отсутствие теденции к отклонению. Это и оправдывает принятое нами название.
Множество всех точек безнадежности назовем множеством безнадежности модели Пу.
В разделе 5.3 была доказана теорема 5.3.2, которая в терминах безнадежности теперь будет сформулирована следующим образом.
Теорема 7.4.1. Множество безнадежности модели Пу может состоять лишь из изолированных точек безнадежности.
На основании этой теоремы можно заключить, что почти всюду имеется тенденция к изменению дохода.
Раздел 7.5 посвящен принципу Гюйгенса в модели Т. Пу. Показано, что принцип Гюйгенса имеет место в следующих случаях входных данных.
1. 8 = = 8ое~г,
V = у(£) = вое-* + 1 — (7.5.17)