Убывание на бесконечности решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях

• Автор: Каримов, Руслан Халикович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 104 с.

Оглавление
Введение

1. Л - последовательности и их свойства

1.1. Неравенства

1.2. А - последовательности

1.3. П - последовательности

2. Задача Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений

2.1. Корректность постановки задачи Дирихле

2.1.1. Существование решения

2.1.2. Единственность и непрерывная зависимость решения от правой части уравнения

2.2. Поведение решения на бесконечности

2.2.1. Оценки сверху
2.2.2. Точность оценок
3. Первая смешанная задача для квазилинейных параболических уравнений
3.1. Корректность постановки первой смешанной задачи
3.1.1. Единственность решения
3.1.2. Существование решения
3.2. Убывание решения при Ь —> оо
3.2.1. Допустимая скорость убывания решения
3.2.2. Оценки сверху

3.2.3. Точность оценок Литература
Введение
Работа посвящена фундаментальной проблеме изучения качественных свойств решений краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка в неограниченных областях. В частности, в диссертации исследуется поведение на бесконечности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в неограниченных областях О С Вф = {х = (х,Х2, ■ ■ ■ ,хп)}, п > 2, и первой смешанной задачи для параболических уравнений в цилиндрических по временной координате областях D = > 0} х П. Данное направле-
ние весьма обширно и включает в себя целый класс задач. В настоящей работе для квазилинейных эллиптических уравнений при |х| —> оо и для квазилинейных параболических уравнений при i —> оо исследована скорость убывания решений рассматриваемых задач в зависимости от геометрии неограниченной области £2.
Обзор результатов по названным направлениям исследований будет проводиться в той последовательности, как они приведены выше. При этом работы других авторов не будут подробно цитироваться, поскольку это привело бы к неоправданному увеличению объема введения. Исключение могут составить лишь результаты, наиболее близкие к полученным в диссертации, когда необходимо привести их сравнение.
Изучением поведения на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений занимались O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян [49], Е.М. Ландис, Г.П. Панасенко [42], В.А. Кондратьев, И. Копачек, Д.М. Лекве-ишвили, O.A. Олейник [37], Л.М. Кожевникова [33], В.Ф. Гилимшина, Ф.Х. Мукминов [6] и другие.

Глава 2.
Задача Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений
Приведем сначала определения пространств в которых ищутся обобщенные решения задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических
уравнений (0.18), (0.19), при этом будем считать, что > 1. Простран-

ства Ш 9+1,т+1(^)> Н гп+г^) определим как пополнения пространства Со°(П) по нормам ||7г>||т+1 + ||г?||9+1, ||7г;||т+1) соответственно. Определение 2.1. Обобщенным решением задачи (0.18), (0.20) еФ(х) €

Цд+1 )/я№), ф(х) 6 Ь(т+1)/т,(Г2) назовем функцию и(х) е ТУд+1,т+1(Гг), удовлетворяющую интегральному тождеству
1(и,и)= / (оа(х, V«) - Фа) иХа + (а(х, и) - Ф) ь 1 йх = 0 (2.1)

для. любой функции н(х) €1Й ^+1,т+1(^)-
Определение 2.2. Обобщенным решением задачи (0.19), (0.20) сФ(х)

Ь(от+1)//т(П) назовем функцию «(х) е Н]п+х(^), удовлетворяющую интегральному тождеству

У" (а«(х, V«) - Фа) д^йх = 0 (2.2)

для любой функции г>(х) €^^+1(П).