Экспоненциальная дихотомия линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

• Автор: Клевцова, Юлия Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 163 с.

Глава 1. Условие эскпоненциальной дихотомии линейных систем с периодическими коэффициентами
§ 1.1. Периодическая краевая задача для дифференциального уравнения Ляпунова со специальной правой частью
§ 1.2. Оценки матрицы Грина, нормы решения краевой задачи (1.0.3) и параметров дихотомии

§ 1.3. Оценки мультипликаторов системы (1.0.1) и взаимного наклона подпространств

§ 1.4. Об исследовании асимптотической устойчивости линейных систем с периодическими коэффициентами

Глава 2. Системы дифференциальных уравнений с периодическими возмущениями

§ 2.1. Теорема о непрерывной зависимости решения краевой задачи (1.1.2) от элементов матрицы А(Ь)
§ 2.2. Дихотомия относительно единичной окружности Г матрицы мо-нодромии возмущенной системы (2.0.1)
§ 2.3. Теоремы о непрерывной зависимости краевой задачи (1.4.1) от элементов матриц Л(£), С{{) и условия асимптотической устойчивости решений возмущенной системы (2.0.2)
§ 2.4. Оценки границы области притяжения нулевого решения и скорости убывания решений при £ —>- оо системы (2.0.3)
Глава 3. О численном исследовании асимптотической устойчивости решений линейных систем с периодическими коэффициентами
§ 3.1. Способы решения краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова
§ 3.2. Алгоритм приближенного вычисления характеристики (3.1.2)
§ 3.3. Алгоритм для численного исследования асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1.0.4)
§ 3.4. Построение разностной схемы четвертого порядка точности для краевой задачи (1.4.1)
Заключение
Литература

В диссертации рассматриваются линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
Tt = A(t)y' (1)
где A{t) — Т-периодическая непрерывная матрица размера N х N, т. е. A(t + Т) = A(t). Проводятся исследования задачи об экспоненциальной дихотомии системы (1).
Напомним определение экспоненциальной дихотомии для линейной системы дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами (см., например, [16]).
Определение. Система дифференциальных уравнений (1) с непрерывной матрицей A(t) называется экспоненциально дихотомичной, если пространство С распадается в прямую сумму замкнутых подпространств
С^ = С1(0)ФС2(0),
причем выполняются следующие условия:
а) решения yi(t) — Y(t)yi уравнения (1), где Y(t) — матрицант системы (1), выходящие в момент t = 0 из подпространства Ci(0) (у? G Ci(0)), подчиняются оценке
||î/i(*)ll < Mie-^(*“e)||ÿi(s)|| (t>s; t,s€ (-00,00))
с некоторым показателем гц > О, М — const;
б) решения У2ОО = Y(t)y2 уравнения (1), выходящие в момент t = О из подпространства С2(0) (у® G Сг(0))> подчиняются оценке
||y2(t)|| < M2e_l/2(s_<)||y2(s)|| (t < s; t, s, G (-00, 00))
с некоторым показателем г/2 > 0, M2 — const;
в) взаимный наклон подпространств
C1(t) = Y(t)C1( 0), C2(t) = Y(t)C2( 0)
не может при изменении t стать слишком малым; точнее при некотором /3 > 0 выполняется условие
Sn(Ci(i), c2(t)) = ...inf... , 1kl + ^2Ü >p, tE (-00,00).
zk€Ck(t)(k=l,2),\zk\=l

t / t

; / exp ( -/ ||Я(«)||Л. (1.2.22)
t-T и )
Оценим в (1.2.21) второй интеграл /2. Перепишем его следующим образом:
t t
t+{j+l)T / т
t+jT t
м i+T / u+jT
= /exp (- / ЯІ +

^ t+T / U+ІТ
1 00 л / /» /
I Г / Г «(s)
7 (i.S
x exp
yw^/exp(-/ ІІВДІГ
' U
-/ j ||Я(М)||||/(, + іТ)||^
Поэтому в силу Т-периодичности a;(t), i?(t) и ограниченности функции /(t) получим
_ sup ||/(t)|| у / “ , }
/2 £ '“"йг- /ехр Г /рад!* ||Я<“)'1Л

пади
sup ||/(t)||
—00<І<00
71 (і) ^1 exp