Инвариантные многообразия в сингулярно возмущенных системах

• Автор: Аносова, Ольга Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с. : ил.

Оглавление
1. Введение
1.1. Быстро-медленные системы
1.2. Глобальные результаты
1.3. Локальные результаты
1.4. Благодарности
2. Глобальные теоремы о сохранении инвариантного многообразия
2.1. Базовые определения
2.2. Обобщение теоремы Феничеля в устойчивом случае
2.3. Глобальная теорема в устойчивом случае
2.4. Обобщение теоремы Феничеля в гиперболическом случае
2.5. Глобальная теорема в гиперболическом случае
3. Локальные теоремы о сохранении инвариантного многообразия
3.1. Локальная теорема в устойчивом случае
3.2. Локальная теорема в гиперболическом случае
Литература

Глава 1. Введение.
1.1. Быстро-медленные системы
Возмущение —- это общее название для такой ситуации, когда речь идет о каком-то изменении ‘невозмущенной’ системы дифференциальных уравнений, свойства решений которой подразумеваются известными, причем изменения все-таки не нарушают некоторой связи между решениями невозмущенной системы и решениями ‘возмущенной’ (т.е. измененной) системы. Такая неопределенная общая формулировка по-разному конкретизируется в различных задачах. Когда система изменяется незначительно (в классе гладкости Сг с подходящим г), говорят о регулярных возмущениях. Для сингулярных возмущений характерны значительные изменения системы в том или ином смысле (но все же остается какая-то связь между возмущенной и невозмущенной системами).
Настоящая диссертация относится к той части теории сингулярных возмущений, в которой рассматриваются быстро-медленные системы. Быстро-медленная система — это система дифференциальных уравнений вида

1 Введение.
где /і и /2 — Сг-гладкие функции (г > 1). Соответствующая невозмущенная, или быстрая, система отвечает значению є
Г і = /і(ж,у,0), ж Є К*, І/ЄІ'
1 У = о.
Формально переход от быстрой системы (1.2) к быстро-медленной системе (1.1) выглядит как регулярное возмущение. Но если рассмотреть быстрое время Т — е£, то система (1.1) превращается в систему (1.Ґ), где малый параметр є стоит при одной из производных:
( бх
= /і(®,у,є). їЄ* , 2/є

= /а(*,»,є), є є
Решению новой системы (1.1') на отрезке [0, г] отвечает решение старой системы (1.1) на большем отрезке [0, г/є]. При є = 0 система (1.10 принимает вид
/і(ж,у,0) = 0, ж(ЕКа, і/Єї1, бу

( 6Т
= /2(®,У,0), Є є
Понятно, что системы (1.10 и (1-20 имеют фазовые пространства разных размерностей. Поэтому это как раз пример сингулярного возмущения. На фиксированном отрезке времени решения быстро-медленной системы (1-1) близки к решениям быстрой системы (1.2), однако мы будем рассматривать большие отрезки времени (порядка 1/е), где близость решений утрачивается. ‘Сингулярность’ тогда проявляется не во внешнем виде системы, а в выходе за пределы обычных результатов о регулярных возмущениях, что обусловлено слишком большим отрезком времени.
2.3 Глобальная теорема в устойчивом случае

Доказательство леммы.
1) Докажем, что в каждой точке (х,у) Е ЗЛо векторное поле, задаваемое системой (2.7), касается многообразия ЭЛц.
Напомним, что Ш1о = 1Д Мо(у) X {у}. Следовательно, если точ-уев
ка (х,у) Е ЯЯо, то точка ж лежит на замкнутом инвариантном или растекающемся относительно системы ж = /] (ж, у, 0) многообразии М0(у) и тогда /Дж,у, 0) € ТхМ0(у), где ТхМ0(у) — касательное пространство к АД (у) в пространстве К*. Касательное пространство к многообразию = ТхМц(у) ® ТУВ, где ТуВ
касательное пространство к В в пространстве Мг. Вектор в точке (ж, у), задаваемый полем системы (2.7), выглядит как у(х, у) = {А{х,у,0),(у)у), где /Дж,у,0) Е ТхМ0(у), а <р(у)у Е ТуВ. Следовательно, вектор у(х,у) Е ТгХгУ)Шо, что и требовалось доказать.
2) Докажем, что в каждой регулярной граничной точке (ж, у) Е <9ЭДТо векторное поле системы (2.7) направлено наружу.
Точка (ж, у) лежит на границе дЗЛо многообразия ШТц тогда и только тогда, когда либо у 6 дВ, либо ж € дМо(у) (если Мо(у) — замкнутое инвариантное многообразие, то возможен только случай у Е дВ). В случае, когда
у Е дВ = {у : |эд| = 1 для некоторого г},
вектор в точке (ж, у), задаваемый системой (2.7), имеет вид г>(ж, у) = (/Дж, у, 0),5у), что в ортогональной проекции на нормаль к границе дВ дает 6у. По построению 5 > 0, поэтому проекция вектора на нормаль направлена наружу.
В случае, когда ж 6 дМо(у), вектор в точке (ж, у), задаваемый системой (2.7), имеет вид г(ж, у) = (/Дж, у, 0), <р(у)у), что в проекции на нормаль к границе дМо(у) дает /Дж, у, 0). Поскольку Мо(у)