Смешанные краевые задачи для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости

• Автор: Сгибнев, Алексей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 153 с.

1 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне системы разрезов, расположенных на окружности
1.1 Постановка задачи
1.2 Модификация задачи
1.3 Решение задачи
1.4 Явный вид решения в частных случаях
1.5 Модификация системы алгебраических уравнений
1.6 О вычислении некоторых интегралов
2 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы
2.1 Постановка задачи
2.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений
2.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы
2.4 Существование решения
• 2.5 Случай одного разреза
2.6 Поведение градиента решения на концах разреза
2.7 Доказательство леммы
2.8 Исчезновение особенности Уи
3 Обобщённая задача о скачке для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости
3.1 Постановка задачи
3.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений
3.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы
3.4 Существование решения
3.5 Решение сингулярных уравнений
3.6 Вычисление интегралов
3.7 Случай одного разреза
3.8 Поведение градиента решения на концах контура
3.9 Доказательство леммы
3.10 Исчезновение особенности Ун

Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на разных сторонах разрезов
4.1 Постановка задачи
4.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений
4.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы
4.4 Существование решения
4.5 Решение сингулярных уравнений
4.6 Вычисление интегралов
4.7 Случай одного разреза
4.8 Поведение градиента решения на концах контура
4.9 Доказательство леммы
4.10 Исчезновение особенности V«
Заключение
Список литературы
Настоящая работа посвящена исследованию некоторых смешанных краевых задач для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости.
Краевые задачи вне разрезов на плоскости представляют большой интерес для приложений. Разрезы моделируют трещины в твердых телах, электроды в полупроводниках, крылья, экраны и пластины в жидкостях и газах, и т.д. Особый интерес представляют краевые задачи в канонических областях, которые допускают явное решение.
Дадим краткий обзор работ, посвящённых нашей теме.
Можно указать два основных типа краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости с разрезами.
1) Краевые задачи для уравнения Лапласа с разрезами вдоль прямой или вдоль окружности. Ввиду простоты области, решение таких задач часто удаётся получить в явном виде.
2) Краевые задачи для уравнения Лапласа с разрезами произвольной формы. В этом случае, как правило, решение ограничивается сведением к разрешимой системе интегральных уравнений.
Рассмотрим оба типа задач подробнее.
♦ 1) Задачи для уравнения Лапласа с разрезами вдоль прямой или вдоль
окружности могут быть решены в явном виде методами теории аналитических функций комплексного переменного. Задача сводится к задаче Римана-Гильберта для аналитических функций, а затем - к векторной задаче сопряжения [11, 38]. Эта задача допускает в определенных случаях решение в замкнутой форме. Случаи явного решения задачи Римана-Гильберта и соответствующей векторной задачи сопряжения вне разрезов вдоль прямой и окружности рассматривались в [27, 28, 32, 33]. Частные случаи этих задач решены в [34, 35, 36, 37]. Следует отметить, однако, что в многосвязных областях (в случае нескольких разрезов) задача для гармонических функций не эквивалентна соответствующей задаче Римана-Гильберта для аналитических функций [39]. Поэтому даже если явное решение краевой задачи для аналитических функций известно, то нахождение явного решения задачи для гармонических функций требует дальнейших трудоемких исследований.
Методом сведения к задаче Римана-Гильберта были построены явные решения следующих краевых задач для уравнения Лапласа в канонических областях.
Задача Дирихле с разрезами вдоль прямой решена в монографиях [11, 12]. В [11] указан также способ решения задачи Дирихле с разрезами вдоль

Под С°(Д2 Г) понимается класс функций, которые имеют предельные значения на разрезах Г слева и справа, но эти значения могут быть различны во внутренних точках контура Г, т.е. функции могут иметь скачок на контуре Г.
Сформулируем смешанную задачу для уравнения Лапласа вне системы разрезов на плоскости.
Задача М . Найти функцию и(х) из класса удовлетворяющую вй2Г уравнению Лапласа
Ли(х) = 0, х Є Л2 Г, (2)
граничным условиям
и(я)|:ф)ег+ = /+0)> (3)

= Г (в), (4)
х(г)€Г-

и условиям на бесконечности
і А
и(х) = А1п|х| + 0(1), = Щ + 0(|х|~2), |х]->оо. (5)
Считаем, что /+(з), /~(з) - известные функции, А - заданная константа. В случае А — 0 получим классическое условие ограниченности на бесконечности. Эта задача допускает явное решение, если разрезы расположены вдоль прямой [6, 10] или вдоль окружности (см. главу 1, а также (61], [62]). Поясним, что в [6, 10] построено явное решение более общих задач, частным случаем которых является задача Дирихле-Неймана для гармонических функций вне прямолинейных разрезов на плоскости.
Индексами + и — будем обозначать предельные значения функций на Г+ и на Г~ соответствено. •
Докажем теорему единственности.
Теорема 1. Задача Л4 имеет не более одного решения.
Доказательство. Предположим, что задача М. имеет два решения иДх) и Н2(х) из класса С. Тогда функция щ(х) = нДх) — и^х) принадлежит классу Є и удовлетворяет задаче Л4 с однородными граничными условиями (3), (4) и с условиями на бесконечности
и0(х)=О(1), щ = 0{хГ2), |*| -> оо. (б)
Обозначим через 1Г окружность большого радиуса г с центром в начале координат. Охватим замкнутой кривой каждый из разрезов Г„, п