Необходимые условия оптимальности в различных классах экстремальных задач управления

• Автор: Карамзин, Дмитрий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Краткое содержание работы
ГЛАВА I. РАСШИРЕНИЕ И ВОЗМУЩЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
1. Расширение задачи оптимального управления и
вопрос о гладком возмущении
2. Возмущение задачи оптимального управления
с фазовыми ограничениями
3. Приложение к теории Принципа Максимума
4. Задача со смешанными и концевыми ограничениями
5. Задача с фазовыми ограничениями
ГЛАВА II. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
РЕСУРСОВ ПО МНОЖЕСТВУ НЕЗАВИСИМЫХ ОПЕРАЦИЙ
1. Введение
2. Постановка задачи
3. Простейшая задача
4. Принцип максимума
5. Расшифровка ПМ для задачи на МГ№МАХ
ГЛАВА III. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА В
ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ
1. Постановка задачи и основные определения
2. Некоторые обозначения и понятия
3. Леммы и предложения
4. Редукции и т-задача
5. Простейшая задача
6. Линейно выпуклые задачи. Теорема существования решения.
Принцип максимума для задачи с концевыми ограничениями
7. Задача с фазовыми ограничениями
8. Условия невырожденности и завершение доказательства
принципа максимума
9. Нелинейная задача импульсного управления
Библиография

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена изучению необходимых условий оптимальности в различных классах экстремальных задач управления.
В первой главе рассматривается обычная задача оптимального управления при самых общих предположениях относительно динамики управляемой системы (т.е. нет ни линейности по управлению, ни выпуклости векторграммы и т.д.). В работе [2] A.B. Арутюновым был предложен метод гладкого возмущения, с помощью которого исходная задача (предполагается, что она имеет решение) может быть приближена задачами с минимумом в обобщенных управлениях. Но для задачи с минимумом в обобщенных управлениях Принцип Максимума (ПМ) и условия второго порядка уже известны [3] (они получены A.B. Арутюновым методом штрафных функций). Тем самым результаты работы [3] распространяются на исходную, невыпуклую задачу. В настоящей работе метод гладкого возмущения перенесен на случай задачи с фазовыми ограничениями. Далее в первой главе для задачи с измеримым нефиксированным временем и фазовыми ограничениями доказывается ПМ. При этом особое внимание уделяется условиям трансверсальности по времени в форме [1], с помощью которых в предположениях гладкости, регулярности и управляемости получается невырожда-ющийся ПМ [1]. Говорят, что ПМ вырождается, если его условия могут быть удовлетворены тривиальным набором множителей с А0 = 0 и ip(t) = 0 Vt £ (to,ii), но, возможно, ^>(t*) ф 0, к = 0,1 (ведь в задаче с фазовыми ограничениями сопряженная переменная есть функция с ограниченным изменением и, следовательно, может иметь скачки). Тогда общепринятое условие нетривиальности Ao + sup I^WI > 0 удовлетворяется, хотя ПМ, очевидно, не информативен, поскольку условие максимума не дает никакой полезной информации относительно значений оптимального управления.
Обратимся к истории вопроса. Впервые ПМ для задач с фазовыми ограничениями был получен Р.В. Гамкрелидзе [30]. ПМ в форме Гамкрелидзе имеет ряд достоинств и недостатков. С одной стороны он не вырождается, а мера т] имеет лишь абсолютно непрерывную составляющую и конечное число атомарных составляющих. С другой стороны, он доказан лишь для так называемых “регулярных” траекторий, которые, например, имеют лишь конечное число выходов на границу фазовых ограничений, а оптимальное управление предполагается кусочно гладким. В 1963 г. для задач с фазовыми ограничениями А.Я. Дубовицким и A.A. Милютиным получен ПМ без априорных предположений относительно оптимальных управлений и траекторий [15]. Оптимальной траектории в этом ПМ разрешено иметь счетное число выходов на границу фазоограничения, и Милютиным был даже построен пример линейной задачи с таким свойством. Им же были получены условия, гарантирующие отсутствие у меры rj сингулярной составляющей. Недостатком ПМ в форме Дубовицкого-Милютина является то, что для некоторых постановок задачи он вырождается (например, автономная задача быстродействия с закрепленными концами, лежащими на границе фазоограничения). Впервые на этот факт обратил внимание A.B. Арутюнов в работе [5]. Он же при довольно общих предположениях методом конечномерной аппроксимации доказал модифицированный вариант ПМ [1], который (в отличие от Дубовицкого-Милютина) не вырождается при известных условиях управляемости и регулярности (по этому поводу см. также работу Дубовицких [14]).

Два результата: Гамкрелидзе и Дубовицкого-Милютина, ставшие уже классическими, — это две принципиально разные теоремы и их действительно трудно сравнивать. Правильно было бы сказать, что обе теоремы затрагивают разные аспекты большой и сложной проблемы получения качественного ПМ для задачи с фазовыми ограничениями. Поясним здесь, что фазовые ограничения есть частный случай нерегулярных ограничений смешанного типа и этой нерегулярностью и объясняется вся сложность их исследования.
Во второй главе изучается одна задача оптимального распределения ресурсов по множеству независимых операций. Задачи оптимального распределения ресурсов относятся к сложным комбинаторным задачам управления проектами [6, 8]. Достаточно законченная теория существует для ряда постановок и, в частности, для случая независимых операций [8]. Предполагается, что скорость операций линейно зависит от количества ресурсов и от состояния операции. Постановка задачи продиктована практическими соображениями. В настоящей работе для этой задачи методом штрафов [1] получены необходимые условия оптимальности в форме ПМ.
В третьей главе рассматривается задача оптимального импульсного управления с векторной мерой. Оптимальное импульсное управление представляет собой интенсивно развивающийся раздел динамической оптимизации, в котором изучаются процессы с разрывными траекториями и нерегулярными управлениями импульсного типа, в качестве которых могут выступать векторные меры или обобщенные функции. Важным стимулом к развитию теории импульсного управления является моделирование физических процессов, управление которыми осуществляется в течение столь кратковременных промежутков, что их можно идеализировать как мгновенные, а результаты воздействия приводят к разрывам фазовых траекторий исследуемой системы. Примеры подобных ситуаций можно найти в механике, ракетодинамике, квантовой электронике, лазеро- и робототехнике, экономике [16]. Помимо чисто физических приложений, становление теории импульсного управления во многом обязано внутренним потребностям самой математики: ведь многие задачи оптимального управления (с линейной по управлению динамикой) не имеют, как правило, решения в традиционном классе абсолютно непрерывных траекторий, если множество допустимых измеримых управлений не ограничено в пространстве Ь2- Однако, если это множество ограничено хотя бы в норме Ь, то утверждать существование решения можно в более широком классе управлений — в классе так называемых импульсных управлений, в качестве которых (в данном случае) будут выступать борелевские меры. Причем каждому обычному управлению u(t) исходной задачи в расширенной будет отвечать абсолютно непрерывная борелевская мера ß с плотностью =* = u(t). Указанный факт есть следствие известного утверждения о слабой-* секвенциальной компактности единичного шара в С*.
В развитие теории импульсного управления большой вклад внесли работы (в нашей стране) H.H. Красовского, А.Б. Куржанского, М.И. Гусева, С.Т. Завалигци-на, А.Н. Сесекина, В.А. Дыхты, Б.М. Миллера (см. [12, 16, 17, 24, 25, 26, 27, 28]) и работы таких зарубежных ученых как Bressan, Pereira, Rampazzo, Silva, Vinter (см. [34, 37, 38, 40]) и этот список является далеко не полным.

uemax.) 53 {Атх*Л%) + Brur,фтЩ)) = 53 J^(p*) Vj, (2-17)
!AI+ 53 ä Ы) =L (2-18)
j=l bfclujtjj
Здесь А = (Л0, Ai,A2).
Доказательство. Пусть (p*,u*) —оптимальная пара. Опишем штрафную задачу. Для этого возьмем произвольное натуральное число i и определим функции f0j и e0,i формулами
foj(x, t) = х- х)(i) I2, j = 1,к,
ео,»(р) = ¥>(р) + |р - р*|2 + i [|^1+(р)|2 + I^sCp)!2] •
Здесь для произвольного вектора а = (а, ..,сц) через а+ обозначается вектор с координатами (<г,)+ = niax(0, cij), j = 1, ..,1.
При фиксированном i рассмотрим задачу
ео,<(р) + 53 /3 foj{xj,t)dt ->• min, (2.19)
3=1 J
Xj AjXj -I- BjUj, t € [0, tj], j — 1,.., k,
|p-p*l < 1, u(<) = (ui(t),..,uk(t)) e U{t,r).
Эту задачу будем называть г-задачей.
Несложно доказывается, что каждая из г-задач (2.19) имеет решение. Действительно, это есть следствие слабой секвенциальной компактности шара в гильбертовом пространстве (подобного рода доказательство см. [4]). Обозначим это решение через (p^UjjXj). В силу компактности, выделяя подпоследовательность, Pi —> р, Uj —)■ и слабо, Х( —> х равномерно. Действуя по аналогии с [4], в силу метода штрафов выводим сначала, что (р, и, х) — допустимый процесс в задаче (2.3)-(2.5) и затем что р = р*, Xj = Xj, j = 1,..,к. При этом может оказаться, что u^u’, но тем не менее
всегда BjUj = BjUj почти всюду, j = 1,.., к, что ниже используется для доказатель-
ства условия максимума.
К г-задаче (2.19) применимы необходимые условия, полученные в лемме 3.1. Выпишем их для оптимального процесса (р*, щ). В силу леммы 3.1 существуют абсолютно непрерывные функции 1pj(t), j = 1,.., к и число A0)j > 0, для которых имеет место
4 = ~—

$(°) = я~Г-(Р” Л<)> 4(Ф

cbo,.
1 , / max |53яг(4(0>«г(0>4(0) dt= (
;Ti)J0 ТГ. JO
Mi, (2.20)
dl , . dxTj (2.21)
' [53я;(4№, «'(0.4(0) dt,
Lr=l (2.22)