Задачи со смещением для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения

• Автор: Шувалова, Татьяна Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 129 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Композиционные свойства обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре
1.1 Основные определения и обозначения
1.2 Вывод формул-композиций обобщенных операторов (1“0?'сх‘Ча0?'Ч 1тх) при а <
1.3 Таблица преобразований Меллина некоторых интегральных операторов
Глава 2. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения
2.1 Постановка задачи
2.2 Задача Дирихле-Неймана
2.3 Исследование уравнения (2.1) в гиперболической области. Доказательство единственности решения задачи
2.4 Доказательство существования решения задачи
2.5 Частный случай задачи 1 (а = (3)
Глава 3. Задача со смещением для уравнения смешанного типа
с двумя линиями вырождения
3.1 Постановка задачи
3.2 Задача Неймана
3.3 Исследование уравнения (3.1) в гиперболической области. Доказательство единственности решения задачи
3.4 Доказательство существования решения задачи
Заключение
Литература

Введение
Изучение краевых задач для уравнений смешанного типа находится в центре внимания специалистов по дифференциальным уравнениям с частными производными благодаря глубокому математическому содержанию этих задач и наличию многочисленных приложений при исследовании проблем математической физики. Эта теория включает рассмотрение ряда трудных и интересных задач. К их числу относятся краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения.
Исследования диссертационной работы примыкают с одной стороны к направлениям, связанным с краевыми задачами для уравнений смешанного типа, а с другой - к направлению, связанному с теорией дробного интегро-дифференцирования. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, который интенсивно развивается. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями. Возникшая в начале 20-ых годов прошлого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в магнитной гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в теории оболочек, в прогнозировании уровня грунтовых вод и других областях науки и техники (см. JI. Берс [6], И.Н. Векуа
[7], М.Н. Коган [20], Ф.И. Франкль [64]).
Начиная с известных работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта [61, 62, 67], систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах М.А. Лаврентьева, Ф.И. Франкля, И.Н. Векуа, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко, Т.Д. Джураева, В.Ф. Волкодавова, С.П. Пуль-кина, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, В.И. Жегалова, А.М. Нахушева, Б.И. Моисеева, А.П. Солдатова, А.Н. Зарубина, К.Б. Сабитова и других математиков.
В 60-ые годы прошлого столетия A.B. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической

части границы равноправны как носители граничных условий.
Исследования А.М. Нахушева и В.И. Жегалова сыграли важную роль при решении данной проблемы. В 1969 году А.М. Нахушев предложил ряд нелокальных задач нового типа [28, 29], которые явились непосредственным обобщением задачи Трикоми и вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. В отличии от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, вообще говоря, дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья на линии вырождения уравнения.
Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло и массообмена в капилляро-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, при изучении процессов размножения клеток, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [32].
В направлении развития теории краевых задач со смещением появилась серия работ А.М. Нахушева [30-33], В.И. Жегалова [13], М.М. Смирнова [57-59], Е.И. Моисеева [26], O.A. Репина [36, 38, 41, 43] их учеников и последователей.
Классические и современные результаты теории дробного интегродиффе-ренцирования и ее приложений к интегральным и дифференциальным уравнениям и теории функций изложены в монографии С.Г. Самко, A.A. Килбаса, О.И. Марпчева [55]. Среди математических объектов дифференциальные и интегральные уравнения и интегральные преобразования являются наиболее близкими к конструкциям дробного интегродифференцирования. А поскольку дифференциальные и интегральные уравнения имеют многочисленные приложения в естественных науках, то и дробное интегродифференциро-вание находит важные приложения. Например, в математической биологии, что нашло отражение в монографии А.М. Нахушева [32].
Первые работы по исследованию задач со смещением в краевых условиях содержали классические операторы Римана-Лиувилля. Естественным обобщением этих операторов стали операторы, введенные Э. Лавом (E.R Love, Австралия) [69, 70], А. Мак-Брайдом (A.C. McBride, Англия) [71], М. Сайго

аАСхв+ь1«Ла+с+1/ф) (ж) = ЖР а+о,Ь+/3,С++Ь/()) ф
- Х& (1%+а'с+0’Ь+Щ+су(()) (ж)
- х-а-Ъ~с-а-0 а+а-а-с-а-Ь-а-Ъ-а-Щ+Ъ
-а-0 а+а-а-Ъ-а-Ь-а-с-а-Р+с ф
= х~а~ъ~с~
_ I в = —а,
28. Если < тогда
[ с1 = Ь - а,
*, . Г(6 +1 - в)Г(с+1 - з) 1,,1 т
5 “ Г(а + 6 + с+1-а)Г(1-с* + Ь-а/
(ж) = ж-“-г,-с (/0а+о’-“-с--а-6+ь/(*)) (ж)
= аГа-ь-с (/“+“ “а"6-°_с+с/(4)) (ж) = ®-а +а’6~а’с-“+6/(<)) (а:)
= ж'“ (70а+а’с-а-ь-а+с/(*)) (ж).
оот? $(3 = с1 + а +с,
29. Если < тогда
[г] = (1-Ь,
*/ ч
9 Г(1-(1 + Ь-з)Г(1 + а + (3 + г1-(1 + Ь-з)
(/0/0+а+с-¥/(*)) (х) = ж'"-6 (/“+"’+У-“-7(0) (ж) -= .т“6 70а+а’с+й-Ь’£гГ°-6/() (я)
= ж-“-й-“-с 7/а+а)-а-а-й,Ь-а-,-сг-ага-6()
30. Если < а' тогда
I d = —а — с — а,
-*/.ч Г(Ь + 1-я)Г(с+1-з) „ч
9 м = г(1-3)г(1-л + 1,-.)/ («-‘ + ч + '-Л (/У'Р-“ '-«/»-'"/'/«)) (х) = “-/с/,)) и